¿Por qué este elemento es invertible en el álgebra de Calkin?

Question

Esta pregunta viene de una sección de Rordam del "K-teoría de las C*-álgebras", la sección 9.4.2.

Deje $H$ ser una de infinitas dimensiones separables espacio de Hilbert, y deje $T$ ser un operador de Fredholm en $B(H)$. Deje $T=S|T|$ ser la descomposición polar de $T$ donde $S$ es una isometría parcial y $|T|=(T^*T)^{1/2}$.

Para $t\in[0,1]$, definir la ruta de $R_t=S(t|T|+(1-t)I)$. Si $\pi$ es la proyección de $B(H)$ en el Calkin álgebra (modulo compacto operadores), a continuación,$\pi(R_t)=\pi(S)(t|\pi(T)|+(1-t)I)$. El libro de reclamaciones, a continuación, para cada una de las $t$, este elemento es invertible en el Calkin álgebra y, por tanto, $R_t$ es Fredholm.

Desde $T$ es Fredholm, a continuación, $\pi(T)$ es invertible y, por tanto, $\pi(S)$ es unitaria, por lo que realmente sólo tengo que ver que $(t|\pi(T)|+(1-t)I)$ es invertible. Ahora $|\pi(T)|$ $I$ son tanto invertible en el Calkin álgebra, y así estoy básicamente de la creación de la línea recta entre dos invertible elementos, pero no la puedo ver de inmediato por qué todo lo que en ese camino también debe ser invertible.

Answer 1

De ello se desprende:

Si tiene un operador invertible positivo, T, en un álgebra unital$C^*$, entonces la ruta$(1-t)T+tI$ consiste en operadores invertibles (positivos).
Simplemente aplique el cálculo funcional al elemento$T$, cuyo espectro está contenido en$[\epsilon, \infty)$ para algunos$\epsilon>0$. La función$(1-t)x+t1$ es estrictamente positiva en este segmento (mayor que épsilon) y, por lo tanto, invertible.