Algunas preguntas sobre la aplicación del teorema de Stokes

Question

Deje $\omega$ ser una forma diferenciada. Stokes teorema establece que para cualquier colector $\Omega$:

$$ \int_{\partial \Omega}\omega = \int_\Omega d\omega$$

donde $d$ es el exterior de derivados.

Me gustaría usar Stokes teorema para demostrar que un determinado diferencial $1$forma $\varphi$ es exacta, siempre que su integral sobre una curva cerrada es cero.

Mi idea es dejar a $\Omega$ ser una curva cerrada. A continuación, $\partial \Omega = \varnothing$ y, por tanto,$\int_{\partial \Omega}\omega =0$. Por Stokes teorema de, a continuación,$ \int_\Omega d\omega=0$.

El problema que tengo ahora es que esto muestra que la integral sobre una curva cerrada de $d \omega$ es cero, pero esto no parece ayudar. Por lo tanto:

¿Cómo puedo utilizar Stokes teorema de encontrar un diferencial de $0$forma $\psi$ con $d \psi = \varphi$?

Answer 1

No sé si este hecho puede ser probado por el teorema de Stokes, de todos modos voy a dar una prueba aquí.

El siguiente truco es común en el análisis complejo/ geometría diferencial: una forma de $\omega$, de modo que la integral sobre cualquier suave lazo cerrado es cero. Por aproximación, podemos suponer que el mismo también es cierto para funciones definidas a trozos suaves bucles cerrados.

Supongamos $\Omega$ está conectado (si no acaba de restringir todo lo que a cada uno de los componentes conectados). Deje $x_0$ ser arbitraria y definir $f: \Omega \to \mathbb R$, donde

$$ f(x) = \int_\gamma \omega , $$

donde $\gamma$ es cualquier pieza de sabios curva suave de unirse a $x_0$$x$. La definición es independiente de $\gamma$ elegido, debido a la condición en $\omega$.

Ahora queremos mostrar a $df = \omega$. Deje $x\in \Omega$ $\gamma_0$ ser una curva que conecta $x_0$$x$. A continuación, para todos los $y$ cerca de $x$, tenemos

$$f(y) = f(x) + \int_{\gamma_y} \omega,$$

donde $\gamma_y$ es cualquier curva de unirse a $x$$y$.

Ahora, supongamos que estamos en un local de coordenadas $y = (y^1, \cdots y^n)$, de modo que $x$ se identifica con el origen. Escribir en este coordinar

$$\omega = w_1(y) dy^1 + \cdots + w_n(y) dy^n .$$

Ahora mostramos $\frac{\partial f}{\partial y^i }(0) = w_i(0)$$i=1, \cdots, n$.

$$\frac{\partial f}{\partial y^i} (0) = \frac{d}{dt}\bigg|_{t=0} \frac{f(te_i) - f(0)}{t}$$

Para calcular el $f(te_i)$,$\gamma (s) = s(te_i)$.

$$f(te_i) = \int_0^1 \langle \gamma'(s) , \omega (\gamma(s)) \rangle ds = t\int_0^1 \omega_i (ste_i) ds = t \omega_i (s_t te_i),$$

donde $s_t \in [0,1]$ por medio del teorema del valor. Así

$$\frac{\partial f}{\partial y^i} (0) = \lim_{t\to 0} \omega_i (s_t te_i) = w_i(0).$$

Por lo tanto $df = \omega$$x$. Como $x\in \Omega$ es arbitrario, tenemos $df = \omega$$\Omega$.