¿Qué implica la hipótesis de Lindelöf?

Question

Hace poco leí este artículo ( https://viterbischool.usc.edu/news/2018/06/mathematician-m-d-solves-one-of-the-greatest-open-problems-in-the-history-of-mathematics/ ) sobre alguien que podría haber demostrado la hipótesis de Lindelöf, que afirma que la función zeta de Riemann se comporta en la línea crítica como $$\zeta(1/2 + it)=O(t^\varepsilon)$$ para cualquier $\varepsilon > 0$ . El artículo es muy vago, ¿qué implicaciones tendría una demostración de la hipótesis de Lindelöf? ¿Por ejemplo, sobre la distribución de los números primos o la hipótesis de Riemann?

Answer 1

La hipótesis de Lindelöf no implica la hipótesis de Riemann. Pero los límites de subconvexidad (es decir, los límites de la forma $\lvert \zeta(\tfrac{1}{2} + it) \rvert \ll t^{\alpha}$ para $0 < \alpha < 1/4$ ) sí implican algún límite en cuanto a lo mucho que puede fallar la Hipótesis de Riemann. A grandes rasgos, un límite de subconvexidad con exponente $\alpha$ implica que las partes reales de los ceros no pueden ser mayores que $\alpha$ lejos de $1/2$ de media.

Por ejemplo, la hipótesis de Lindelöf implica que hay como máximo $O(T^\epsilon)$ ceros con parte real mayor que $3/4 + \delta$ (para cualquier $\delta$ ) hasta la altura $T$ . A veces esto se afirma diciendo que LH implica una forma fuerte de la Hipótesis de densidad. Backlund demostró que LH implica que el cero por ciento de los ceros se encuentran fuera de la línea crítica (pero aún así pueden ser infinitamente muchos).

Pero no se pueden hacer afirmaciones precisas a partir de la Hipótesis de Lindelöf. En concreto, consideremos la $L$ -asociadas a una forma modular de peso semi-integral en $\text{GL}(2, \mathbb{Z})$ (que se parece mucho a un $L$ -en el sentido de que tiene una ecuación funcional y una continuación meromórfica, pero no tiene un producto de Euler). La Hipótesis de Riemann es falsa para estas $L$ -series, pero en muchos casos se espera que la Hipótesis de Lindelöf sea cierta. Así pues, no deberíamos pensar que la hipótesis de Lindelöf está demasiado ligada a la hipótesis de Riemann (ya que hay casos en los que LH es cierta y RH es falsa) o a la distribución de los números primos (que tienen mucho menos significado para $L$ -sin productos de Euler).