Potencia asintótica

Question

He encontrado el término "potencia asintótica de una prueba estadística" sólo relacionado con la prueba de Kolmogorov-Smirnov (para ser precisos: potencia asintótica = 1). ¿Qué significa realmente este término? En mi opinión, debería ser algo así: "si la hipótesis alternativa es verdadera, entonces para cada nivel de significación alfa existe un tamaño de muestra n en el que la prueba seleccionada rechazaría la hipótesis nula". ¿Es correcta "mi" definición? Según "mi definición", la mayoría de las pruebas clásicas (t-tset, ...) deberían tener la potencia asintótica 1, no sólo la prueba KS. ¿Estoy en lo cierto? ;)

Answer 1

La definición anterior (una alternativa fija, tamaño de la muestra que va a infinito) se relaciona de forma más precisa con la coherencia (o no) de una prueba de hipótesis. Es decir, una prueba es consistente frente a una alternativa fija si la función de potencia se aproxima a 1 en esa alternativa.

La potencia asintótica es algo diferente. Como señaló Joris, con potencia asintótica las alternativas $\theta_n$ están cambiando, están convergiendo al valor nulo $\theta_0$ (del orden de $\sqrt n$ digamos) mientras el tamaño de la muestra marcha hacia el infinito.

Bajo algunas condiciones de regularidad (por ejemplo, el estadístico de prueba tiene una razón de verosimilitud monótona, es asintóticamente normal, tiene varianza asintótica $\tau$ continua en $\theta$ bla, bla, bla) si $\sqrt n(\theta_n - \theta_0)$ va a $\delta$ entonces la función de potencia pasa a $\Phi(\delta/\tau - z_\alpha)$ donde $\Phi$ es la FDA normal estándar. Esta última cantidad se denomina potencia asintótica de una prueba de este tipo.

Véase Lehmann's $\underline{\mbox{Elements of Large Sample Theory}}$ para debatir y elaborar ejemplos.

Por cierto, sí, la mayoría de las pruebas clásicas son coherentes.

Answer 2

Según he entendido, la potencia asintótica es la potencia hipotética cuando el tamaño del efecto llega a cero y el tamaño de la muestra a infinito. Básicamente debería ser 0 o 1, indicando si la prueba no puede o puede distinguir una pequeña desviación arbitraria de la hipótesis nula cuando el tamaño de la muestra es suficientemente grande.

Answer 3

Sí, tienes razón. Yo sólo sustituiría "existe un tamaño de muestra n tal que la prueba seleccionada rechazaría la hipótesis nula" por "para cada e>0 existe un tamaño de muestra n_0 tal que la probabilidad de rechazar la hipótesis nula es mayor que 1-e para todo n>n_0".