Tengo una ecuación $$ \tag 1 \frac{\partial^{2} y}{\partial t^{2}} - \frac{\partial^{2}y}{\partial z^{2}} + i\frac{\partial a(t)}{\partial t}\frac{\partial y}{\partial z} = 0 $$ Ici $$ a = \frac{J_{\frac{1}{4}}(t^{2})}{\sqrt{t}} \approx -\frac{3}{4}\frac{cos\left(t^{2} - \frac{3\pi}{8}\right)}{t^{\frac{3}{2}}} \sqrt{\frac{2}{\pi }} = a_{0}\frac{cos\left(t^{2} - \frac{3\pi}{8}\right)}{t^{\frac{3}{2}}} $$ Para valores grandes de tiempo $t$ También puedo simplificar la derivada $\frac{\partial a}{\partial t} = a'$ a la forma $$ \tag 2 a{'} \approx - 2a_{0}\frac{sin\left(t^{2} - \frac{3\pi}{8}\right)}{\sqrt{t}} $$ Necesito analizar la Ec. $(1)$ sobre las inestabilidades. En el espacio de Fourier se lee $$ y_{k}{''} + (k^{2} + Ak a{'})y_{k} = 0, \quad A = const, \quad y_{k} \equiv y(k, t) $$ Es una ecuación tipo Mathieu: utilizando $(2)$ tiene la forma $$ \tag 3 y_{k}{''} + \left[k^{2} - \tilde{A}k \frac{sin\left( t^{2} - \frac{3 \pi}{8}\right)}{\sqrt{t}}\right]y_{k} = 0 $$ ¿O cómo construir una solución aproximada? Especialmente busco soluciones de crecimiento exponencial.
Una edición. Para un argumento grande $t$ es posible transformar $(3)$ a la ecuación tipo Mathieu con parámetros dependientes del tiempo. Debido a la adiabaticidad de estos parámetros es posible obtener el exponente de la solución inestable y las bandas de parámetros que corresponden a la solución inestable.
