Si $(a_n)$ es una disminución de la secuencia de estrictamente números positivos y si $\sum{a_n}$ es convergente, muestran que $\lim{na_n}=0$

Question

Si $(a_n)$ es una disminución de la secuencia de estrictamente números positivos y si $\sum{a_n}$ es convergente, muestran que $\lim{na_n}=0$

Desde $(a_n)$ es decreciente y acotada por debajo, por el Teorema de Convergencia Monótona, $(a_n)$ converge. Así, hay $N$ tal que $|a_n-L|< \epsilon$

Desde $\sum{a_n}$ es convergente, por la Divergencia de la prueba, tenemos $\lim_n{a_n}=0$, lo que significa que existe $N$ tal que $|a_n-0|< \epsilon$

Entonces me quedo atascado en el aquí.

Trato de averiguar la declaración del significado mediante la inserción de algunos ejemplos, como la $a_n=\dfrac{1}{n^2}$

¿Alguien puede guiarme en esta pregunta?

Answer 1

Supongamos que $\lim\limits_{n\to\infty}na_n\ne0$. Es decir, hay un $\epsilon\gt0$, de modo que para cualquier $N$, hay un $n\ge N$, de modo que $na_n\ge\epsilon$. Desde $a_n$ está disminuyendo, $$ \sum_{k=n/2}^n a_n\ge\frac{n}{2}\frac{\epsilon}{n}=\frac{\epsilon}{2} $$ Desde $na_n$ no converge a $0$, podemos encontrar infinidad de bloques de$n/2$$n$, que se suma a al menos $\epsilon/2$. Por lo tanto, hemos demostrado el contrapositivo: si $\lim\limits_{n\to\infty}na_n\ne0$, $\sum\limits_{k=0}^\infty a_n$ diverge.

Answer 2

Sugerencia de Utilizar el criterio de Cauchy para la convergencia de una serie. Recuerde que la sucesión es decreciente y positiva.

Answer 3

Dado $\epsilon >0$, existe un $N$ lo suficientemente grande tal que $n,m\ge N \implies \sum a_k =|\sum a_k|<\epsilon$. Entonces para cualquier $n\ge N$ tenemos que $$0\le na_{2n}\le a_n+a_{n-1}+ \ ... \ +a_{2n-1}=\sum a_k <\epsilon,$$ thus we have $\lim na_{2n}=0$.

Ahora fix $\epsilon >0$ y corregir $N$ tal que $n\ge N \implies na_{2n}=|na_{2n}|<\epsilon/3$. Ahora para $n>2N$ podemos encontrar una $m\ge n$ tal que $n/3 \le m\le n/2$, por lo tanto, tenemos $|ma_{2m}| <\epsilon/3$. Desde $a_k$ es una disminución de la secuencia, entonces tenemos que $|ma_n|\le |ma_{2m}|<\epsilon/3$, lo $|na_n|\le |3ma_n|<\epsilon$, ya que el $n\le 3m$. Por lo tanto,$\lim na_n=0$.

Lo siento si esto es un poco desordenado. Si desea otra prueba o me quieren agregar más detalle, hágamelo saber.

Answer 4

Recuerde que la serie armónica diverge, y comparar.