$\arctan (x) + \arctan(1/x) = \frac{\pi}{2}$

Question

¿Cómo puedo demostrar que $\arctan(x) + \arctan(1/x) =\frac{\pi}{2}$?

Intenté suponer que $x = \tan(u)$. Luego

$$\arctan(\tan(u)) + \arctan(\tan(\frac{\pi}{2} - x)) = \frac{\pi}{2}$$

pero no parece útil.

Apreciaría más una demostración que dé intuición y/o use comprensión geométrica.

Answer 1

En la medida en que el OP solicitó un enfoque intuitivo o geométrico, procedamos en consecuencia. La discusión heurística que sigue sirve solo para complementar los enfoques más analíticos/rigurosos y puede ayudar a solidificar la comprensión de la relación.

Supongamos que tenemos un triángulo rectángulo formado por los tres puntos coordenados $(0,0)$, $(1,0)$ y $(1,x)$. Tenga en cuenta que la tangente del ángulo $\theta$ entre la hipotenusa y el eje $x$ es

$$\tan \theta =x \tag 1$$

También podemos ver que la tangente del ángulo del lado opuesto $\phi$ es

$$\tan \phi = 1/x\tag 2$$

Pero sabemos que la suma de los ángulos $\theta$ y $\phi$ debe dar $\pi/2$. Por lo tanto, tenemos, de $(1)$ y $(2)$, que

$$\theta +\phi =\arctan(x)+\arctan(1/x)=\pi/2$$

Aunque en este desarrollo, los ángulos estaban restringidos a estar entre $0$ y $\pi/2$, podemos adaptar este mismo enfoque para mostrar que la relación es en realidad general para $x>0$. Y también podemos usar este enfoque para mostrar que para $x<0$, $\arctan(x)+\arctan(1/x)=-\pi/2$.

Answer 2

$$f\left( x \right) =\arctan { \left( x \right) +\arctan { \left( \frac { 1 }{ x } \right) } }$$ $$f^{ \prime }\left( x \right) =\frac { 1 }{ 1+{ x }^{ 2 } } -\frac { 1 }{ 1+{ x }^{ 2 } } =0$$ $$\\ f\left( x \right) =c\\ f=f\left( 1 \right)$$

Answer 3

Let $$\tan ^{-1}(x)=\theta\iff x=\tan \theta$$ Donde, $0<\theta<\frac{\pi}{2}$

Ahora, sabemos que $$\tan\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)=\cot\theta$$ $$\tan\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)=\frac{1}{\tan\theta}$$ Estableciendo $\tan\theta=x$ $$\tan\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)=\frac{1}{x}$$ $$\frac{\pi}{2}-\theta=\tan^{-1}\left(\frac{1}{x}\right)$$ $$\theta+\tan^{-1}\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{\pi}{2}$$ Estableciendo el valor de $\theta$ $$\tan^{-1}\left(x\right)+\tan^{-1}\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{\pi}{2}$$

Answer 4

Sea $f(x)=\arctan(x)+\arctan(\frac1x)$. Entonces $f'(x)=\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+1/x^2}\frac{-1}{x^2}=\frac{1}{1+x^2}-\frac{1}{1+x^2}=0$, por lo que $f(x)$ es constante para $x>0$. Luego se observa que $f(1)=\frac{\pi}{2}$ y así $f(x)=\frac{\pi}{2}$.

Hay una discontinuidad en $x=0$, por lo que la derivada solo tiene sentido para $x\neq 0$. Cuando $x<0$, se puede verificar que $f(-1)=-\frac{\pi}{2}$. $f(x)$ tiene la misma derivada, así que para $x<0$, $f(x) -\frac{\pi}{2}$

Answer 5

$\arctan(a)+\arctan(b) =\arctan(\frac{a+b}{1-ab})$.

Por lo tanto $\arctan(x)+\arctan(1/x) =\arctan(\frac{x+1/x}{1-1}) =\arctan(\frac{x+1/x}{0}) =\pi/2$.

Si esto te molesta,

$\begin{array}\\ \arctan(x-c)+\arctan(1/x) &=\arctan(\frac{x-c+1/x}{1-(x-c)/x)})\\ &=\arctan(\frac{x-c+1/x}{c/x})\\ &=\arctan(\frac{x^2-cx+1}{c})\\ &=\arctan(\frac{x^2+1}{c}-x)\\ &\to \pi/2 \quad\text{ a medida que } c \to 0\\ \end{array}$.