En la medida en que el OP solicitó un enfoque intuitivo o geométrico, procedamos en consecuencia. La discusión heurística que sigue sirve solo para complementar los enfoques más analíticos/rigurosos y puede ayudar a solidificar la comprensión de la relación.
Supongamos que tenemos un triángulo rectángulo formado por los tres puntos coordenados $(0,0)$, $(1,0)$ y $(1,x)$. Tenga en cuenta que la tangente del ángulo $\theta$ entre la hipotenusa y el eje $x$ es
$$\tan \theta =x \tag 1$$
También podemos ver que la tangente del ángulo del lado opuesto $\phi$ es
$$\tan \phi = 1/x\tag 2$$
Pero sabemos que la suma de los ángulos $\theta$ y $\phi$ debe dar $\pi/2$. Por lo tanto, tenemos, de $(1)$ y $(2)$, que
$$\theta +\phi =\arctan(x)+\arctan(1/x)=\pi/2$$
Aunque en este desarrollo, los ángulos estaban restringidos a estar entre $0$ y $\pi/2$, podemos adaptar este mismo enfoque para mostrar que la relación es en realidad general para $x>0$. Y también podemos usar este enfoque para mostrar que para $x<0$, $\arctan(x)+\arctan(1/x)=-\pi/2$.