Bijección entre$1+ \alpha$ y$\alpha + 1$

Question

Deje $\alpha$ ser un ordinal. Quiero mostrar que hay un bijection entre los ordinales $1 + \alpha$$\alpha + 1$.

Traté de proceder por inducción transfinita en $\alpha$; en el caso de $\alpha$ es un ordinal sucesor es más fácil demostrar el teorema. Sin embargo, en el caso de $\alpha$ es un límite ordinal parece bastante duro, ya que no es claro de inmediato cómo usar la bijections (por la hipótesis de inducción) para la construcción de la "principal" bijection. Por otra parte, incluso si yo sería capaz de mostrar el resultado de esta manera, la prueba parece bastante técnico y de largo.

Hay una buena (y corto) manera de mostrar esto?

Answer 1

Debe poder definir explícitamente las bijections y no apelar a una prueba inductiva. Esto podría depender de ciertos hechos, sin embargo:

• Si$\alpha < \omega$, entonces$1 + \alpha = \alpha + 1$ (Demuestre esto por inducción).
• Si$\omega \leq \alpha$ entonces$1 + \alpha = \alpha$. (La inducción transfinita es probablemente útil aquí).

Quizás un buen punto de partida es definir explícitamente una bijección entre$\omega$ y$\omega+1$ y luego generalizar la idea.

Answer 2

Si bien puede probar esto utilizando la inducción transfinita, también puede observar lo siguiente:

El tipo de orden del pedido lexicográfico en$\{\langle\alpha,0\rangle\}\cup\alpha\times\{1\}$ es$1+\alpha$ y$\alpha+1=\alpha\cup\{\alpha\}$. Debería poder usar esto para encontrar una bijección bastante explícita ahora.