Dejemos que $G$ sea un grupo finito y $H$ sea un subgrupo de $G$ . Sea $|H|=p^n$ para algunos $p$ de primera, $n\geq1$ . Demostrar que $[N(H):H]\equiv [G:H](\mod p)$ .
He observado que tendré que demostrar que $p$ divide $\dfrac{|G|-|N(H)|}{p^n}$ . Sin embargo, hasta ahora no conozco ninguna relación entre $N(H)$ y $|G|$ . Se agradece alguna pista.
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Aconsejaría considerar los casos en que $p$ hace y no divide $|G:H|$ por separado, Si lo hace, entonces $H$ está estrictamente contenido en un Sylow $p$ -subgrupo $P$ de $G$ y luego $N_P(H)$ contiene estrictamente $H$ Así que $p$ divide $|N(H):H|$ . De lo contrario, $H$ es en sí mismo un Sylow $p$ -subgrupo de $G$ , en cuyo caso $|G:N(H)|$ es el número de Sylow $p$ -subgrupos, que es igual a $1$ mod $p$ .
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Hola Derek, ¡gracias por el comentario! Sin embargo, ¿sería posible resolver este problema sin utilizar el Teorema de Sylow en absoluto? He completado hasta Isomorfismos en Álgebra Abstracta. No he estudiado el Teorema de Cayley ni los Teoremas de Sylow ni los grupos abelianos finitamente generados. ¿Quizás podrías guiarme, por favor?