Mostrando una secuencia de funciones converge uniformemente

Question

Deje $\{f_n\}$ ser una disminución de la secuencia de funciones continuas con $f_n:[0,1]\rightarrow\mathbb{R}$, con la propiedad de que existe un $M\in(0,1)$ tal que $|f_n|\leq M$. Además, $f_n\rightarrow f$ pointwise, donde $f$ es también continua. Demostrar que la convergencia es en realidad uniforme.

Esto es lo que he intentado: Vamos a $\epsilon>0$ ser dado. Entonces como $f$ es continua en a $[0,1]$ es uniformemente continua. Deje $\delta$ ser tal que $\delta$-cerca de los puntos del mapa a $\frac{\epsilon}{3}$-cerca de puntos. Partición de $[0,1]$ en intervalos, todos aquellos cuya longitud de menos de $\delta$. Deje $I_1,...,I_k$ ser tales intervalos. Deje $y_i$ ser el punto medio de la $I_i$. Deje $N_i$ ser tal que $|f_n(y_i)-f(y_i)|<\epsilon/3$. Deje $N$ ser el máximo de todos los $N_i$.

Deje $x\in [0,1]$ ser arbitraria. A continuación, $x\in I_k$ algunos $k$. Por lo tanto, si $n\geq N$, luego: $$|f_n(x)-f(x)|\leq |f_n(x)-f_n(y_k)|+|f_n(y_k)+f(y_k)|+|f(y_k)+f(x)|$$By choice of $N$, we have that the middle term is less that $\epsilon/3$, by continuity of $f$, the last summand is also less than $\epsilon/3$, así que me preguntaba ¿cómo puedo terminarlo?

Gracias

Answer 1

Como se ha mencionado por Salech Alhasov, esto es Dini del Teorema.

Aquí está una prueba más cerca en espíritu a la OP del enfoque:

El resultado va a seguir si podemos mostrar que la secuencia con los términos de $g_n=f_n-f$ converge uniformemente a 0. Tenga en cuenta que $(g_n)$ es una disminución de la secuencia de funciones continuas convergentes pointwise a 0

Fix $\epsilon>0$.

Para cada una de las $t\in I=[0,1]$, seleccione $g_{m_t}$ , de modo que $0\le g_{m_t}(t)<{\epsilon\over2}$. Desde $g_{m_t}$ es continua en a $t$, hay un $\delta(t)>0$, de modo que $$0\le g_{m_t}(x)<\textstyle{\epsilon }\quad\text{ for all}\quad |x-t|\le \delta(t).$$ Ahora, desde la $[0,1]$ es compacto, existe un conjunto finito $\{t_1,\ldots, t_k\}\subset I$ tal que $\bigl\{ B_{t_1}(\delta(t_1)),\ldots, B_{t_k}(\delta(t_k))\bigr\}$ cubre $[0,1]$.

Deje $m>\max\limits_{1\le i\le k}\{m_{t_i}\}$$x\in I$. Entonces $x\in B_{t_i}(\delta(t_i))$ for some $i$ and thus $\phantom{\epsilon\over2}$ $$ 0\le g_m(x)\le g_{m_{t_i}}(x)<\epsilon. $$

Por lo tanto $(g_n)$ converge uniformemente a$0$$[0,1]$.

Answer 2

En realidad, el supuesto de que $|f_n|\leq M$ es redundante, ya que se da es que cada una de las $f_n$ es continua (por lo tanto limitado en $[0, 1]$), y la sucesión es decreciente (es decir, supongo que te refieres a que para cada una de las $m > n$ y cada $x\in [0, 1]$, $f_m(x)\leq f_n(x)$. La suposición de que el límite superior (es decir,$M$) $(0, 1)$ tampoco es necesario. Sólo vamos a utilizar el hecho de que cada una de las $f_n$ es continuo, el intervalo de $[0,1]$ es compacto, la secuencia de $\{f_n\}$ está disminuyendo, y $f_n\rightarrow f$ pointwise en $[0, 1]$.

Observar que, desde $\{f_n\}$ es decreciente en el sentido asumido anteriormente, para cada uno de los $m > n$$x\in[0,1]$,$f(x)\leq f_m(x)\leq f_n(x)$. Dado $\epsilon > 0$$n\in\mathbb{N}$,

$$ O_n := \{x\in[0,1]: f_n(x) - f(x) < \epsilon\}. $$

Por la continuidad de $f_n$ $f$ (que se supone que en el problema original), para cada $n$, $O_n$ está abierto. Deje $C_n = O_n^c$. A continuación, $C_n$ es compacto y, además, por pointwise convergencia de $\{f_n\}$ $f$y el hecho de que $\{f_n\}$ está disminuyendo, la secuencia de $\{C_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ formas de una secuencia anidada de compacto de conjuntos; es decir, $C_{n+1}\subset C_n$ por cada $n\geq 1$. Ahora, si para cada $n$, $C_n\neq \emptyset$, entonces

$$ C:= \bigcap_{n\in\mathbb{N}}C_n $$

es no vacío, y para cada $x\in C$, $f_n(x)$ no converge a $f$. Esta es la contradicción de pointwise convergencia, por lo tanto para algunos $n_0$, $C_{n_0}$ debe estar vacío. En otras palabras, para algunos $n_0\in\mathbb{N}$,

$$ f_{n_0}(x) - f(x)\leq \epsilon $$

para cada una de las $x\in[0,1]$. Por la monotonía de la secuencia de $\{f_n\}$ (en el sentido presume de arriba), para cada una de las $m\geq n_0$, también hemos

$$ f_m(x) - f(x) \leq \epsilon $$

para cada una de las $x\in[0,1]$. Convergencia uniforme es así resultó.

Answer 3

Es el teorema de Dini .