Ambigüedad con troncos y desigualdades.

Question

Resolver la siguiente desigualdad:

$$0.8^x > 0.4$$

Método 1 (Usando el Logaritmo Común)

$$\log_{10}0.8^x > \log_{10}0.4$$ $$x\log_{10}0.8 > \log_{10}0.4$$

Debido a $$\log_{10}0.8 < 0$$

El signo de la desigualdad va a cambiar cuando dividimos ambos lados de la ecuación por el lado izquierdo de la desigualdad anterior:

$$x < \frac{\log_{10}0.4}{\log_{10}0.8}$$

El uso de un inversa del cambio de base en el teorema, obtenemos:

$$ x < \log_{0.8}0.4$$

Método 2 (el Uso de otra base de Logaritmo)

$$\log_{0.8}0.8^x > \log_{0.8}0.4$$ $$x\log_{0.8}0.8 > \log_{0.8}0.4$$

Debido a $$\log_{0.8}0.8 > 0$$

El signo de la desigualdad no cambia cuando dividimos ambos lados de la ecuación por el lado izquierdo de la desigualdad anterior:

$$x > \frac{\log_{0.8}0.4}{\log_{0.8}0.8}$$

El denominador del lado derecho de la desigualdad es igual a uno, por lo tanto:

$$ x > \log_{0.8}0.4$$

El signo se invierte mediante ambos métodos - el libro de los estados que la respuesta sea el obtenido con el primer método, pero no puedo lugar donde me fue mal en el método dos.

Cualquier ayuda será muy apreciada, gracias de antemano.

Answer 1

El método 2 es incorrecto al principio porque lo siguiente es incorrecto :$$0.8^x\gt 0.4\Rightarrow \log_{0.8}0.8^x\gt \log_{0.8}0.4$ $

En cambio, tenemos$$0.8^x\gt 0.4\Rightarrow \log_{0.8}0.8^x\color{red}{\lt} \log_{0.8}0.4$ $ porque$0.8\lt 1$.

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Para$a\gt 1$,$$b\gt c\gt 0\iff \log_ab\gt \log_ac.$ $ Para$a\lt 1$,$$b\gt c\gt 0\iff \log_ab\color{red}{\lt} \log_ac.$ $

Answer 2

Ampliando ligeramente lo que dice @mathlove, solo dibuje$\log_{0.8} x$ vs.$x$ (digamos en Maple o Mathematica si los tiene, o en una hoja de cálculo de lo contrario). Verá que es una función de disminución monótona en$x>0$. Cada vez que tomamos

$x>y$

y$f(x)$ está disminuyendo monótonamente entonces

$f(x) < f(y)$

$\log_b (x)$ está disminuyendo monótonamente (en$x>0$) en cualquier momento$b < 1$.