He mostrado ese$[\mathbb{Q}(\sqrt{2},\dots,\sqrt{p},\dots):\mathbb{Q}]=\infty$, mostrando que $$ \ mathbb {Q} \ subset \ mathbb {Q} (\ sqrt {2}) \ subset \ mathbb {Q} (\ sqrt {2}, \ sqrt {3}) \ ldots $$ es una cadena ascendente de extensiones algebraicas de$\mathbb{Q}$.
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Supongamos que$\mathbb Q(\sqrt{2},\sqrt{3},\dots,\sqrt{p},\dots)|\mathbb Q$ no es una extensión algebraica de$\mathbb Q$. Luego está$\alpha \in \mathbb Q(\sqrt{2},\sqrt{3},\dots,\sqrt{p},\dots)$ tal$[\mathbb Q(\alpha):\mathbb Q]=\infty$. Pero$\alpha = \sum_{i=0}^n q_i\sqrt{a_i}$, donde$a_i \in \mathbb{N}$ (y son cuadrados libres). Lo más importante de esta suma es que es finita. Implica que el conjunto de todos los diferentes números primos que están presentes en las descomposiciones de todos los$a_i$ es finito (supongamos que$P$ es el más grande entre ellos). Entonces$\alpha \in \mathbb Q(\sqrt{2},\sqrt{3},\dots,\sqrt{P})$ y es una contradicción a nuestro supuesto.
Lubin
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Otro enfoque: los campos son todos dentro de $\Bbb C$, un algebraicamente cerrado de campo. El subconjunto de todos los elementos de a $\Bbb C$ que son algebraicos sobre $\Bbb Q$ es un subcampo, ya que dos números algebraicos sobre $\Bbb Q$ generar un número finito (y por lo tanto algebraicas) la extensión de $\Bbb Q$. Así que este conjunto de todos los números algebraicos es un campo, obviamente que contiene su extensión infinita.
La verdad es más fuerte que eso. De hecho, cualquier compositum de extensiones algebraicas de un campo de $F$ es algebraico sobre $F$. Mi argumento anterior ha hecho uso fuerte de la existencia de un algebraicamente cerrado de campo más grande que todos los campos. Si usted no tiene a su disposición el teorema de que cada campo tiene una expresión algebraica de cierre, usted tendrá que volver a caer en un argumento muy similar a la de @egreg, pero feliz con la inducción transfinita. ¿Cómo sabes que $\Bbb C(t, \{\sqrt{t-a}\}_{a\in\Bbb C})$ es algebraico sobre $\Bbb C(t)$? Usted ha adherido a una cantidad no numerable de independientes de las raíces cuadradas.
egreg
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Más generalmente, si$\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n,\dotsc$ es una secuencia de elementos algebraicos sobre el campo$F$, entonces $$ K = F (\ alpha_1, \ alpha_2, \ dots, \ alpha_n, \ dotsc) = \ bigcup_ { n \ ge 1} F (\ alpha_1, \ alpha_2, \ dots, \ alpha_n) $$ es algebraico sobre$F$.
De hecho, si$\beta\in K$, entonces$\beta\in F(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n)$ para algunos$n\ge1$. Por la fórmula de dimensión,$F(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n)$ es de dimensión finita sobre$F$, por lo que es algebraico sobre$F$ y, en particular,$\beta$ es algebraico sobre$F$.
En su caso,$\sqrt{p}$ es algebraico sobre$\mathbb{Q}$, para cualquier primo$p$.
