Encuentre la segunda derivada de $H(x) = \int_{-x}^{x}[f(t)+f(-t)]dt$

Question

No estoy seguro de cómo tratar con una función que está en ambos límites. ¿Podemos introducirlas como si fueran cualquier otra a y b?

Answer 1

Tenga en cuenta que $f(t)+f(-t)$ es una función par. Así que

$H(x) = \int_{-x}^{x}[f(t)+f(-t)]dt = 2\int_{0}^{x}[f(t)+f(-t)]dt$

Así que $H'(x) = 2f(x)+2f(-x)$

$H''(x) = 2f'(x)-2f'(-x)$

Answer 2

Si no te gusta tener $x$ en ambos puntos finales, sólo hay que dividir la integral:

$$ \int_{-x}^x f(t) dt = \int_{-x}^a f(t)dt + \int_a^x f(t)dt = -\int_a^{-x} f(t)dt + \int_a^x f(t)dt. $$

Edición: no olvides la regla de la cadena:

$$ \dfrac{d}{dx} \int_a^{h(x)} f(t)dt = f(h(x))h'(x) $$

Answer 3

$$ \int_{-x}^x = \int_{-x}^0 + \int_0^x = \int_0^x - \int_0^{-x} $$

$$ \frac d{dx} \int_{-x}^x g(t)\,dt = \frac d{dx} \int_0^x g(t)\,dt - \frac d {dx} \int_0^{-x} g(t)\,dt = g(x) - g(-x)\cdot\frac d {dx}(-x)=\cdots. $$