Pruebas de la desigualdad AM-GM

Question

La desigualdad media aritmética - geométrica establece que $$\frac{x_1+ \ldots + x_n}{n} \geq \sqrt[n]{x_1 \cdots x_n}$$ Estoy buscando algunas pruebas originales de esta desigualdad. Puedo encontrar las pruebas habituales en Internet, pero me preguntaba si alguien conoce una prueba que sea inesperada de alguna manera. Por ejemplo, ¿puede relacionar el teorema con algún teorema famoso, puede encontrar una prueba geométrica no trivial (puedo encontrar algunas de ellas), pruebas que utilicen teoría que no se relacione con esta desigualdad a primera vista (por ejemplo, ecuaciones diferenciales )?

La inducción, la inducción hacia atrás, el uso de la desigualdad de Jensen, el intercambio de términos, el uso del multiplicador de Lagrange, la demostración mediante la termodinámica (sí, lo sé, es más bien un argumento físico de que este teorema podría ser cierto, no es realmente una demostración), la convexidad, son algunas de las pruebas que conozco.

Answer 1

La prueba de Pólya:

Dejemos que $f(x) = e^{x-1}-x$ . La primera derivada es $f'(x)=e^{x-1}-1$ y la segunda derivada es $f''(x) = e^{x-1}$ .

$f$ es convexo en todas partes porque $f''(x) > 0$ y tiene un mínimo en $x=1$ . Por lo tanto, $x \le e^{x-1}$ para todos $x$ y la ecuación sólo es igual cuando $x=1$ .

Utilizando esta desigualdad obtenemos

$$\frac{x_1}{a} \frac{x_2}{a} \cdots \frac{x_n}{a} \le e^{\frac{x_1}{a}-1} e^{\frac{x_2}{a}-1} \cdots e^{\frac{x_n}{a}-1}$$

con $a$ siendo la media aritmética. El lado derecho simplifica

$$\exp \left(\frac{x_1}{a} -1 \ +\frac{x_1}{a} -1 \ + \cdots + \frac{x_n}{a} -1 \right)$$

$$=\exp \left(\frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{a} - n \right) = \exp(n - n) = e^0 = 1$$

Volviendo a la primera desigualdad

$$\frac{x_1x_2\cdots x_n}{a^n} \le 1$$

Así que terminamos con

$$\sqrt[n]{x_1x_2\cdots x_n} \le a$$

Answer 2

Proporcionaré una prueba geométrica simple de la desigualdad en el caso de dos variables (que no he podido encontrar en ningún otro sitio - una prueba que implica un triángulo en un círculo parece ser popular).

Consideremos el cuadrado de lado $a + b$ en la figura siguiente.

El área del cuadrado es $(a + b)^2$ . Pero como contiene completamente los cuatro rectángulos azules, cada uno de área $ab$ se deduce que

$(a + b)^2 \ge 4ab \Rightarrow\\ \dfrac{a + b}{2} \ge \sqrt{ab}$

Además, observa que hay un cuadrado en el centro, de lado $(b - a)$ y, por lo tanto, el área $(b - a)^2$ . Por lo tanto, la desigualdad es estricta excepto cuando $a = b$ .

Esto demuestra el caso de dos variables. Lo mismo puede extenderse a la $n$ -variable caso. He intentado ampliarlo a tres variables, pero es difícil argumentar por qué exactamente $27$ paralelepípedos rectangulares (de lados $a, b, c$ ) caben en el cubo (de lado $a + b + c$ ), aunque veo que es así. ¿Alguna sugerencia?

Answer 3

En $(\sqrt{x_1}-\sqrt{x_2})^2 \geq 0$ tenemos $$\sqrt{x_1 \cdot x_2} \leq \frac{x_1+x_2}{2}.$$ Aplicando esta desigualdad dos veces, obtenemos $$(x_1 x_2 x_3 x_4)^{\frac{1}{4}} \leq \frac{\sqrt{x_1 x_2}+\sqrt{x_3 x_4}}{2} \leq \frac{x_1+x_2+x_3+x_4}{4}.$$ Por inducción, no es difícil ver que $$(x_1 \cdots x_{2^k})^{\frac{1}{2^k}} \leq \frac{x_1+\ldots+x_{2^k}}{2^k} \tag{1}$$ para todos $k \geq 1$ .

Queda por rellenar los huecos entre las potencias de dos. Así pues $x_1,\ldots,x_n$ sean números positivos arbitrarios y elija $k$ tal que $n\leq 2^k$ . Fijamos

$$\alpha_i := \begin{cases} x_i & i \leq n \\ A & n< i \leq 2^k \end{cases}$$

donde $A:= \frac{x_1+\ldots+x_n}{n}$ . Aplicación de $(1)$ a la $(\alpha_1,\ldots,\alpha_{2^k})$ produce

$$\bigg( x_1 \ldots x_n A^{2^k-n} \bigg)^{\frac{1}{2^k}} \leq \frac{x_1+\ldots+x_n+(2^k-n) A}{2^k} = A.$$

Por lo tanto,

$$(x_1 \ldots x_n)^{1/n} \leq A = \frac{x_1+\ldots+x_n}{n}.$$

Answer 4

Tal y como pide dani_s, voy a dar la prueba termodinámica de la desigualdad AM-GM. Este es ciertamente un ejemplo de una prueba original, aunque se podría discutir si es o no rigurosa.

Empecemos con una lista de números $x_i$ para la que queremos demostrar la desigualdad. Tomemos $n$ depósitos de calor idénticos con la misma capacidad calorífica $c$ . Embalse $i$ tenía una temperatura inicial $x_i$ . Poner en contacto esos depósitos de manera que este sistema evolucione hasta una temperatura de equilibrio A.

La primera ley de la termodinámica (conservación de la energía) implica que A es igual a la media aritmética de las $x_i$ , AM.

La segunda ley de la termodinámica establece que la entropía aumenta hasta alcanzar el equilibrio, donde la entropía tiene un máximo. La fórmula correspondiente del cambio de entropía es $$\Delta S=c \ln{\frac{T}{T_0}}$$ donde $c$ es la capacidad calorífica, $T_0$ la temperatura inicial y $T$ la temperatura final.

En nuestro caso $T_i=A$ para todos $i$ y $T_{0,i}=x_i$ . La entropía total no disminuyó y por lo tanto, $$\sum_{i=1}^n c \ln\frac{A}{x_i} \geq 0$$

Al escribir la suma de logaritmos como logaritmo de un producto, reconocemos la media geométrica. Por lo tanto (ya que $A=AM$ ): $$\frac{AM^n}{GM^n} \geq 1$$ Esto demuestra la desigualdad AM-GM.

Answer 5

Desigualdad de Bernoulli dice que para $u\ge-1$ y $0\le r\le1$ , $$(1+u)^r\le1+ru\tag{1}$$ Configuración $u=\frac xy-1$ en $(1)$ dice que para $x,y\gt0$ , $$\left(\frac xy\right)^r\le(1-r)+r\frac xy\tag{2}$$ Si multiplicamos $(2)$ por $y$ obtenemos $$x^ry^{1-r}\le rx+(1-r)y\tag{3}$$ Ahora $(3)$ puede utilizarse inductivamente para obtener $$x_1^{r_1}x_2^{r_2}x_3^{r_3}\dots x_n^{r_n}\le r_1x_1+r_2x_2+r_3x_3+\dots+r_nx_n\tag{4}$$ donde $r_1,r_2,r_3,\dots,r_n\ge0$ y $r_1+r_2+r_3+\dots+r_n=1$ .

Paso inductivo:

Supongamos que $(4)$ se mantiene, entonces podemos utilizar $(3)$ para obtener $$\begin{align} &\left(x_1^{r_1}x_2^{r_2}x_3^{r_3}\dots x_n^{r_n}\right)^{1-r_{n+1}}x_{n+1}^{r_{n+1}}\\ &\le(1-r_{n+1})\left(r_1x_1+r_2x_2+r_3x_3+\dots+r_nx_n\right)+r_{n+1}x_{n+1}\tag{5} \end{align}$$ donde $(1-r_{n+1})(r_1+r_2+r_3+\dots+r_n)+r_{n+1}=1$