Dadas dos variedades complejas sobre una base común, puedo tomar su producto de fibra en la categoría de variedades, o puedo tomar su producto de fibra en la categoría de esquemas y luego tomar el esquema reducido. He oído, que estas dos operaciones producen lo mismo. ¿Alguien tiene una referencia?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Aquí está una prueba de este hecho:
Deje $\mathcal C$ ser la categoría de (no necesariamente irreducible) complejo de variedades. A continuación, $\mathcal C$ puede ser identificado con la categoría de la reducción de la finitos tipo $\mathbb C$-esquemas.
Deje $\mathcal D$ ser la categoría de todos los finitos tipo $\mathbb C$-esquemas.
Luego, obviamente, $\mathcal C$ es una subcategoría de $\mathcal D$, y la inclusión $\mathcal C \subset \mathcal D$ tiene un derecho adjuntos, es decir, el paso a la subyacente se redujo subscheme. General tonterías (es decir, un fácil categórica argumento), a continuación, muestra que si $X\to S$ $Y \to S$ $\mathcal C$ son dos morfismos, la fibra de producto en $\mathcal C$ puede ser calculado por el primer cómputo de la fibra de producto en la mayor categoría de $\mathcal D$, y, a continuación, aplicar el derecho medico adjunto a la inclusión. Es decir, la fibra de producto en la categoría de las variedades de más de $\mathcal C$ es igual a la reducción de la subscheme de la fibra de producto en $\mathcal D$ (que coincide con la fibra de producto en la categoría de todos los esquemas, porque la fibra de producto de morfismos de finito tipo de $\mathbb C$-planes de nuevo finitos tipo más de $\mathbb C$).
No estoy seguro de referencia. Debido a que la prueba es fácil cuando se tiene el derecho categórica marco, es el tipo de cosa que es bien conocido por los expertos, pero cuya prueba no es necesariamente por escrito de forma explícita.
