Proyección sobre espacios de Hilbert.

Question

Sea$\mathcal{H}$ un espacio de Hilbert,$P$ y$Q$ proyecciones ortogonales y$\psi\in\mathcal{H}$ un vector unitario. Deje que$R$ sea la proyección ortogonal en$\overline{\text{span}(\text{im}P\cup\text{im}Q)}$. Necesito mostrar que$\langle\psi,R\psi\rangle\leq\langle\psi,(P+Q)\psi\rangle$. Siento que esto es extremadamente obvio, pero no puedo averiguar cómo comenzar la prueba. ¡Cualquier ayuda es muy apreciada!

Answer 1

Esto no es verdad. Considere$H = \mathbb{R}^2$ y deje que$P$ y$Q$ sean los proyectores en los subespacios abarcados por$(1,0)$ y$(1, 1/4)$. Para$\psi = (0,1)$ podemos calcular \begin{align} (\psi, R\,\psi) &= 1, \\ (\psi, P\,\psi) &= 0, \\ (\psi, Q\,\psi) &= 1/17. \end {align}

O sin cálculos aburridos: deje que$P$ y$Q$ sean los proyectores en los subespacios abarcados por$(1,0)$ y$(1, \varepsilon)$,$\varepsilon > 0$. Para$\psi = (0,1)$ podemos verificar \begin{align} (\psi, R\,\psi) &= 1, \\ (\psi, P\,\psi) &= 0, \\ (\psi, Q\,\psi) &< 1. \end {align}