Prueba

Question

Dado que el $$\int_{|z|=1|}\frac{z^2}{2z+1} dz = \frac{i\pi}{4}$$,
espectáculo $$\int_{0}^\pi \frac{2\cos 2 \theta + \cos 3\theta}{5+4\cos\theta} = \frac{\pi}{8}$$.

Vi los límites de la última integral y pensé que yo debería tratar y parametrizar el uso de $z = e^{2i\theta}$ donde $\theta \in [0,\pi]$. Esto no parece simplificar fácilmente.
vi este hilo: Mostrar que $\int_0^\pi\frac{2\cos(2\theta)+\cos(3\theta)}{5+4\cos(\theta)}d\theta=\frac{\pi}{8}$

y la respuesta dice:
$$\begin{align} \int_0^\pi \frac{2\cos(2\theta)+\cos(3\theta)}{5+4\cos(\theta)}\,d\theta&=\frac12\text{Re}\left(\oint_{|z|=1}\frac{2z^2+z^3}{5+2(z+z^{-1})}\,\frac{1}{iz}\,dz\right)\\\\\end{align}$$
lo que no entiendo.

¿Cómo multiplicar un medio para la integral con el contorno de $|z|=1$ (parametrizadas por $z = e^{i\theta}, \theta\in [0,2\pi]$) dan la LHS?

Traté de mirar al tomar el último integral y mediante la sustitución de $u=\pi + \theta$, con la esperanza de que el integrando se simplifica a la misma estancia, pero no, así que no puedo ver por qué la integral con límites $0,\pi$ es la mitad de la integral que tendría límites $0,2\pi$ (ya que íbamos a usar la parametrización $z=e^{i\theta}$).

Answer 1

Con$\theta\to-\theta$ $$ I = \ int_0 ^ {- \ pi} \ frac {2 \ cos (2 \ theta) + \ cos (3 \ theta)} {5 +4 \ cos (\ theta)} \ , (-) d \ theta = \ int _ {- \ pi} ^ 0 \ frac {2 \ cos (2 \ theta) + \ cos (3 \ theta)} {5 +4 \ cos (\ theta)} \, d \ theta $$ \begin{align} 2I &=\int_{-\pi}^\pi \frac{2\cos(2\theta)+\cos(3\theta)}{5+4\cos(\theta)}\, d\theta\\ &=\int_{|z|=1} \frac{{\bf Re\,}(2z^2+z^3)}{5+2(z+z^{-1})}\,\dfrac{1}{iz} dz,\\ &={\bf Re\,}\int_{|z|=1} \frac{2z^2+z^3}{5+2(z+z^{-1})}\,\dfrac{1}{iz} dz,\\ &={\bf Re\,}\dfrac{1}{i}\int_{|z|=1} \frac{z^2}{2z+1}\, dz, \end {align} Tenga en cuenta que$\overline{z}=\dfrac{1}{z}$ así que$\overline{dz}=d\overline{z}=-\dfrac{dz}{z^2}$ y$\dfrac{\overline{dz}}{\overline{iz}}=-\dfrac{dz}{-i\overline{z}z^2}=\dfrac{dz}{iz}$ y también${\bf Re\,}(z+\overline{z})=z+\overline{z}$. El resto es simple.

Answer 2

Tenga en cuenta que

PS

Ahora puedes usar ese$$2\int^\pi_0 \cos(n\theta)f(\cos \theta ) d\theta = \int^{\pi}_{-\pi} \cos(n\theta)f(\cos\theta ) d \theta $ donde$\gamma(t) = e^{i t}$ para probar

PS

O cualquier combinación lineal.

PS

Así que tenemos al elegir$t \in [-\pi , \pi )$

PS

Tenga en cuenta que

PS

Entonces deducimos eso

PS

Answer 3

Esto no es una respuesta.

Si, como se sugiere en la respuesta del Dr. Sonnhard Graubner, usa la sustitución de ángulo medio tangente, tendrá$$\int \frac{3 t^6+t^4-23 t^2+3}{\left(t^2+1\right)^3 \left(2 t^2+3\right)}\,dt$ $ Puede usar fracciones de partiel para obtener $$ \ int \ left (\ frac {237} {4 \ izquierda (2 t ^ 2 +3 \ derecha)} - \ frac {32} {t ^ 2 +1} + \ frac {12} {\ izquierda (t ^ 2 +1 \ derecha) ^ 2} + \ frac { 3} {4} \ derecha) \, dt $$ pero no veo cómo$$\int_{|z|=1|}\frac{z^2}{2z+1} dz = \frac{i\pi}{4}$ $ podría invocarse en la historia.

Answer 4

SUGERENCIA: use ese$$2\cos(x)+\cos(3x)=4\cos^3(x)-\cos(x)$ $ y luego use$$\cos(x)=\frac{1-t^2}{1+t^2}$$ with $$t=\tan\left(\frac{x}{2}\right)$ $