¿Cómo calcular el ángulo de luz reflejado?

Question

En un plano bidimensional, la línea$X$ está en un ángulo de$x$ radianes y una luz entrante viaja en un ángulo de$y$ radians. ¿Cómo puedo calcular el ángulo de la luz saliente reflejada en la línea$X$? ¿Cómo puedo cubrir todos los casos posibles?

Edit: estaba tratando de averiguar el problema del Proyecto Euler 144 .

Answer 1

Desde que usted haya declarado los tres ángulos en términos similares, y quieren una fórmula que funciona en todos los casos, permite el uso del ángulo con el eje x, en 360 grados de los términos, que cumple dos propósitos, y es bueno para el cálculo. Así que aquí está la foto, con z el ángulo que usted está buscando, y el ángulo de reflexión...

A continuación, utilizando los dos triángulos con el eje x como la base y el hecho de que un ángulo exterior de un triángulo es la suma de los otros ángulos interiores, se obtiene

z = x +

y = $\pi$ - 2a + z

Y la resolución de aquellos para z en términos de x y de y da

z = $\pi$ + 2x - y

OK, esto es en realidad muy lejos de un análisis general -- los ángulos x, y y z pueden ocurrir en cualquier orden en el eje x, pero podemos suponer que y es a la derecha de x sin perder generalidad, por lo que sólo hay otros dos casos. También el ángulo x podría > $\frac{\pi}{2}$, pero desde entonces las líneas son espontáneos, podemos suponer que x < $\pi$. Finalmente, el ángulo x puede ser 0.

Hmmm... pensando en esto un poco más. Cuando z cae a la derecha de y, la misma fórmula de la siguiente manera porque las funciones de z e y son intercambiados. Pero cuando z cae a la izquierda de x, es porque la línea de la luz reflejada se cruza con el eje x "hacia atrás". Y, a continuación, la geometría de los rendimientos de z = 2x - y, o la anterior fórmula si se toma el ángulo de la luz reflejada como el suplemento de z.

Así que realmente necesitamos los vectores de los rayos de luz, no sin líneas, y/o el problema original no es del todo bien formadas, que es la noción de "ángulo" de un rayo de luz que necesita ser definida como la dirección de su vector. Si haces eso, entonces el ángulo de la etiqueta z en mi esquema no es el correcto vector direccional de ángulo. Debería ser $\pi$ + z, por lo que la verdadera fórmula, en la dirección del vector es de z = 2x - y, y que funciona para todos los casos. (No he comprobado los degenerados de los casos, pero no hay razón para esperar que fallen).

Answer 2

Deje que la línea tenga la ecuación$ax + by + c = 0$, el punto donde entra la luz en la línea tiene las coordenadas$(x_0, y_0)$ y la dirección de la luz es$(v_x, v_y)$. Supongamos también que la línea y la dirección de la luz están normalizadas:$a^2 + b^2 = 1$ y$v_x^2 + v_y^2 = 1$.

El vector$(-b, a)$ es un vector paralelo a la línea. Vamos a$d = -bv_x + av_y$ --- proyección de la dirección de la luz hacia la línea.

Entonces la nueva dirección de la luz es$((-b)\cdot(2d) - v_x, (a)\cdot(2d) - v_y)$.

Answer 3

Tenga en cuenta que independientemente de lo que la línea de los ángulos se miden a partir de, no es una línea paralela por el punto de reflexión en el espejo para que las medidas de los ángulos será el mismo. Mi esquema no es completamente general como dibujado (en términos de los ángulos), pero el argumento de abajo es totalmente general, a condición de que todas las medidas de los ángulos son dirigidos, es decir, hacia la izquierda ángulos son positivos y hacia la derecha, los ángulos son negativos. x es el ángulo de una línea de referencia a (medio) el espejo, y es el ángulo de la misma línea de referencia a la entrada de los rayos de luz.

El ángulo de la medida de la mitad del espejo a la entrada de los rayos de luz es $y-x$ (tenga en cuenta que si el diagrama es como había dibujado, excepto que x fueron a la otra mitad de el espejo, $x>y$$y-x<0$, lo cual tiene sentido ya que los $y-x$ sería ir hacia la izquierda de la otra mitad del espejo a la entrada de los rayos de luz). Debido a la magnitud de los ángulos de incidencia y reflexión son iguales, pero el ángulo de reflexión es la dirección opuesta a la de la otra mitad del espejo, el ángulo de la otra mitad de el espejo de la saliente de un rayo de luz es $-(y-x)=x-y$.

Esto hace que la orientación del ángulo de la medida de la mitad del espejo a la salida de los rayos de luz $\pi+(x-y)$ (comenzar en la medida de la mitad del espejo, rotar $\pi$ hacia la izquierda, luego gire $x-y$, que se dirigió de nuevo a la derecha). Desde el ángulo de la línea de referencia a la salida de los rayos de luz es, a continuación, $x+\pi+x-y=\pi+2x-y$ (como en David Lewis de la respuesta).

Answer 4

Ok, he aquí otra manera de mirar, utilizando el vector de direcciones y un poco intuitiva, pero creo que está muy cerca de una prueba real.

Comience con el espejo de la línea X horizontal, es decir, su ángulo de x = 0. Es claro que el ángulo del vector, z, de la luz reflejada es el negativo del ángulo del vector, y, de la misma luz: z = -y.

Ahora gire la línea X por d grados alrededor del punto de reflexión, de cualquier manera, dejando el original rayo de luz (ángulo y) fijo y dejar que el rayo reflejado (ángulo z) rotar alrededor del punto de reflexión para mantener el ángulo de reflexión igual al ángulo de incidencia. Suponiendo que la rotación en sentido antihorario, d > 0, este "empuja" el reflejo de la línea 2d, un d para una inserción directa para mantener el ángulo de las fo de la reflexión, y el otro d porque el ángulo de incidencia aumenta a d, de modo que el reflejo de la luz debe girar mucho más para mantener a los dos ángulos de la luz igual. Del mismo modo, cuando d < 0 para rotación en sentido horario.

Así que estamos creciente (o decreciente, para la rotación en sentido antihorario) el ángulo de x por d, pero el ángulo z (ángulo del vector) por 2d. Por lo tanto...

z = 2d - y = 2x - y