Demostrar que $\frac{\partial x}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial z} \frac{\partial z}{\partial x} = -1$ y verificar la ley de los gases ideales

Question

Ok chicos, continuando mi paso por edwards... aquí está la pregunta... gracias por las pistas/soluciones de antemano:

Supongamos que $f(x,y,z)=0$ se puede resolver para cada una de las tres variables $x,y,z$ como una función diferenciable de las otras dos. Entonces demuestre que

$\displaystyle \frac{\partial x}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial z} \frac{\partial z}{\partial x} = -1$

Comprueba que este es el caso de la ecuación del gas ideal $pv =RT$ donde (donde $p,v,T$ son las tres variables y $R$ es la constante).

Answer 1

Definir $f(x(y,z),y,z)=f(x,y(x,z),z)=f(x,y,z(x,y))=0$ . Entonces, por la regla de la cadena, \begin{eqnarray*} \frac{\partial f}{\partial y}+\frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial y} & = & 0\\ \frac{\partial f}{\partial z}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial z} & = & 0\\ \frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial x} & = & 0 \end{eqnarray*} Así que \begin{eqnarray*} \frac{\partial x}{\partial y} & = & -\frac{\frac{\partial f}{\partial y}}{\frac{\partial f}{\partial x}}\\ \frac{\partial y}{\partial z} & = & -\frac{\frac{\partial f}{\partial z}}{\frac{\partial f}{\partial y}}\\ \frac{\partial z}{\partial x} & = & -\frac{\frac{\partial f}{\partial x}}{\frac{\partial f}{\partial z}} \end{eqnarray*} Por lo tanto, $$ \frac{\partial x}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{\frac{\partial f}{\partial y}}{\frac{\partial f}{\partial x}}\frac{\frac{\partial f}{\partial z}}{\frac{\partial f}{\partial y}}\frac{\frac{\partial f}{\partial x}}{\frac{\partial f}{\partial z}}=-1. $$