Combinatoria de los politopos de Stasheff

Question

En primer lugar, un poco de información para los que no lo sepan. Los politopos de Stasheff (o associaedros) son ciertos politopos convexos que surgen en la teoría de $A_\infty$ -algebras. Hay un politopo para cada $n\geq 2$ y se denota por $K_n$ . El $K_n$ codifican esencialmente las homotopías, homotopías superiores y demás de la relación de asociatividad. Una forma de describir $K_n$ que tiene una dimensión $(n-2)$ es tomar todos los árboles binarios enraizados con $n$ hojas y tomar una adecuado casco convexo. Por ejemplo, $K_2=\{\ast\}$ , $K_3$ es un intervalo mientras que $K_4$ es un pentágono.

Se sabe que el número de vértices $v$ de $K_n$ es el $(n-1)^{th}$ Número catalán, es decir, $v=\frac{1}{n}{2n-2 \choose n-1}$ . ¿Qué se puede decir del número de aristas de $K_n$ y en general sobre el recuento de caras de toda codimensión?

Answer 1

Después de un cambio de variables, la respuesta es la secuencia de A033282 en la Enciclopedia de Secuencias de Enteros: $T(n,k)$ es el número de diagonales de las disecciones de un convexo $n$-gon en $k+1$ regiones. La página da la maravillosa fórmula, $$T(n,k) = \frac{1}{k+1}\binom{n-3}{k}\binom{n+k-1}{k},$$ para los valores de $k$.

Creo que es más fácil hacer un seguimiento de la doble Stasheff polytope, que puede ser realizado como un simplicial complejo basado en la disección de un polígono convexo. El polytope $K_n^*$ tiene un vértice para cada una de las diagonales de un $(n+1)$-gon, y tiene una cara para cada una de las colecciones de la desunión de las diagonales. Así, en términos de sus parámetros originales, $K_n$ $T(n+1,n-2-k)$ caras de la dimensión $k$.

También: Una razón por la que me gusta el doble Stasheff polytope es que tiene una increíble infinito generalización llamado la Hatcher-Thurston complejo de arc. De nuevo tomar las colecciones de los distintos arcos que conectan los puntos marcados, pero en la generalización que puede tomar cualquier superficie con o sin límite, siempre y cuando tenga al menos un punto marcado total y al menos uno en cada límite componente. (Y supongo que en la caja del disco que necesita al menos tres puntos marcados.) Cada una isotopía de la clase de los arcos es un vértice, y cada uno distinto, es una colección de cara. Es una combinatoria modelo de Teichmüller espacios o espacios de moduli de curvas (con el requisito de marcado de puntos).

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Gil Kalai en los comentarios pide un poco más de detalles de la Hatcher-Thurston arco complejo, y nos da una referencia a uno de los papeles originales, "En las triangulaciones de las superficies, de la Topología de Appl. 40 (1991), 189-194," por Allen Hatcher. Brevemente: Supongamos que $\Sigma$ es un fijo de la superficie con algunos de los puntos marcados. Debe haber suficientes puntos marcados de modo que existe al menos una generalizada de la triangulación de $\Sigma$ cuyo vértice es el conjunto de puntos marcados. Una pregunta que podría ser tomado como la motivación es la siguiente: se Puede encontrar un conjunto completo de movimientos en las triangulaciones, se mueve se mueve, se mueve se mueve se mueve, etc.? Si el conjunto de movimientos es completa, no es del todo riguroso pregunta, pero no hay una interesante respuesta. Los movimientos y superior se mueve sólo vienen de borrado de los bordes de la triangulación. El principal es el teorema de que el resultado de la simplicial complejo es contráctiles. La asignación de la clase de grupo actúa sobre el complejo, y actúa libremente en la alta dimensión simplices.

Más precisamente, el complejo de arc tiene un vértice $v$ por cada isotopía de la clase de un arco entre dos de los puntos marcados, entre debidamente incorporado arcos que se pierda todos los puntos marcados en el interior. Si una colección de los arcos pueden ser hechos inconexos, después de isotopía, entonces los vértices correspondientes sobrepasan un simplex. El disco de caso es una excepción en la que el arco no es un complejo bastante contráctiles, sino más bien una esfera.

Answer 2

Greg explicación es demasiado complicado para un problema sencillo. Aquí está una manera más directa enfoque combinatorio. Sé que esta es una vieja cuestión, pero sólo para el registro.

Fijar un convexo $n$-gon $Q \subset \Bbb R^2$ con conjunto de vértices $V$. Considere la posibilidad de un Gelfand-Kapranov-Zelevinsky realización de la associahedron en el espacio de funciones: por cada triangulación $T$$Q$, tome $f_T: V \to \Bbb R$ donde $f(v)=$área de triángulos con vértice en a $v \in V$. Consideremos ahora una función lineal $\phi: \Bbb R^n \to \Bbb R$ mediante el establecimiento de $$\phi(x_1,\ldots,x_n) = x_1 + \epsilon x_2 + \ldots \epsilon^{n-1} x_n,$$ donde $\epsilon >0$ es muy pequeña. Ahora, las triangulaciones $T$ $Q$ corresponden a árboles binarios y los bordes de la associahedron son los pares de triangulaciones obtenidos por un flip - el cambio de una ventaja en un cuadrilátero. En el lenguaje de los árboles binarios, estos corresponden a los bordes también. Permítanos calcular el $h$-vector de la associahedron. Recordemos que el índice de$(T)=$ el número de aristas de $Q$ donde $\phi$ está aumentando, y observar que es igual al número de bordes derecho en el correspondiente árbol binario. Por lo tanto $h_i$ es igual a la Narayana número: $$h_i = \frac{1}{n} \binom{n}{i}\binom{n}{i+1}$$ (necesita cambio de $n\gets n-2$ aquí). Ahora el $f$-vector puede ser obtenida a través del binomio identidades: $$F(t) = H(t+1), \ F(t)=\sum_k f_k t^k, \ H(t)=\sum_k h_k t^k$$ Para ver este ejemplo cuidadosamente explicadas, ver mi libro (capítulo 8). Para más información sobre el associahedron y las ideas detrás de la GKZ realización, ver Ziegler Conferencias sobre polytopes (capítulo 4).