Aquí es cómo encontrar todos los factorizations de $-134 + 26\sqrt{-5}$$\mathbf{Z}[\sqrt{-5}]$, utilizando algunos de los más teoría.
$\mathbf{Z}[\sqrt{-5}]$ es el anillo de enteros de $\mathbf{Q}(\sqrt{-5})$ y por lo tanto es un dominio de Dedekind.
Comenzamos calculando el director ideal $I = (-134 + 26\sqrt{-5})$ en números primos.
Tenga en cuenta que $I$ contiene el entero $N(-134 + 26\sqrt{-5}) = 21336 = 2^3\cdot 3 \cdot 7 \cdot 127$, lo $(21336) = IJ$ algunos $J$, y, por tanto, los factores primos de a $I$ son un subconjunto de los de $(21336)$.
Por el Kummer-teorema de Dedekind, los números primos $2, 3, 7$ $127$ dividido en números primos en $\mathbf{Z}[\sqrt{-5}]$ como sigue:
$2 = (2, 1 + \sqrt{-5})^2$,
$3 = (3, 1 + \sqrt{-5})(3, 2 + \sqrt{-5})$,
$7 = (7, 3 + \sqrt{-5})(7, 4+\sqrt{-5})$, y
$127 = (127, 54 + \sqrt{-5})(127, 73 + \sqrt{-5})$.
Para determinar si uno de estos números primos $\mathfrak{p} = (p, r + \sqrt{-5})$ divide $I$, comprobamos si $I \subset \mathfrak{p}$. Es decir, si $-134 + 26\sqrt{-5} = px + (r + \sqrt{-5})y$ tiene soluciones $x,y \in \mathbf{Z}[\sqrt{-5}]$. Escrito $x = a + b\sqrt{-5}$$y = c + d\sqrt{-5}$, la ecuación se convierte en $$-134 = pa + rc - 5d, \quad 26 = pb + rd + c,$$
lo que se reduce a $-134 - 26r = pa - prb - (r^2 + 5)d$ (con $c = 26 - pb - rd$).
Esta ecuación tiene soluciones si y sólo si $134 + 26r \in (p, r^2 + 5) = (p)$. La última igualdad se mantiene debido a $r$ se obtuvo a partir de la Kummer-teorema de Dedekind. En conclusión, tenemos que comprobar si $134 + 26r \equiv 0 \pmod p$.
Por ejemplo, $(3, 1 + \sqrt{-5})$ no divide $I$ porque $160 \equiv 1 \pmod 3$, e $(3, 2 + \sqrt{-5})$ sí divide $I$ porque $186 = 3\cdot 62$. De esta manera encontramos que los números primos dividiendo $I$ $(2, 1 + \sqrt{-5})$, $(3, 2 + \sqrt{-5})$, $(7, 4 + \sqrt{-5})$ y $(127, 73 + \sqrt{-5})$.
Ahora calculamos el $\operatorname{ord}_\mathfrak{p}(I)$ de estos números primos. A partir de la igualdad $(21336) = IJ$ se sigue que, para $\mathfrak{p}$ $(3, 2 + \sqrt{-5}), (7, 4 + \sqrt{-5})$ $(127, 73 + \sqrt{-5})$ tenemos $\operatorname{ord}_\mathfrak{p}(I) = 1$. Para $\mathfrak{p} = (2, 1 + \sqrt{-5})$ sabemos que $1 \leq \operatorname{ord}_\mathfrak{p}(I) \leq 3$, y desde $\mathfrak{p}^2 = (2)$, podemos ver que $\mathfrak{p}^3 = (4, 2 + 2\sqrt{-5})$ divide $I$$-134 + 26\sqrt{-5} = 13\cdot(2+2\sqrt{-5}) - 40\cdot 4$.
Por lo tanto la factorización del ideal de la $I = (-134 + 26\sqrt{-5})$ a de los números primos en $\mathbf{Z}[\sqrt{-5}]$ está dado por $$I = (2, 1 + \sqrt{-5})^3(3, 2 + \sqrt{-5})(7, 4 + \sqrt{-5})(127, 73 + \sqrt{-5}).$$
Ya que todos estos números primos no son principales y $\mathbf{Q}(\sqrt{-5})$ tiene clase número $2$, cualquier factorización de $I$ en los principales ideales debe ser tal que cada director ideal es un producto de un número par de estos números primos.
El buen particiones de $6$ (el número de números primos contados con su multiplicidad) en números pares se $6 = 2 + 2 + 2$$6 = 4 + 2$. La última partición corresponde a factorizations en reducible elementos, por lo que ignoramos.
Usted puede calcular el ${4 \choose 2} + 1 = 7$ diferentes productos de dos de estos números primos; son
- $\mathfrak{p}_2\mathfrak{p}_{3} = (1 - \sqrt{-5})$,
- $\mathfrak{p}_2\mathfrak{p}_{7} = (3 - \sqrt{-5})$,
- $\mathfrak{p}_2\mathfrak{p}_{127} = (3 + 7\sqrt{-5})$,
- $\mathfrak{p}_3\mathfrak{p}_{7} = (1 + 2\sqrt{-5})$
- $\mathfrak{p}_3\mathfrak{p}_{127} = (19 + 2\sqrt{-5})$,
- $\mathfrak{p}_7\mathfrak{p}_{127} = (22 + 9\sqrt{-5})$, y
- $\mathfrak{p}_2^2 = (2)$.
Observar (mirando a $\mathfrak{p}_2$) que cualquier factorización de $I$ en los principales ideales debe ser de la forma $\mathfrak{p}_2^2 (\mathfrak{p}_2\mathfrak{p}_i) (\mathfrak{p}_j\mathfrak{p}_k)$ o de la forma $(\mathfrak{p}_2\mathfrak{p}_i)(\mathfrak{p}_2\mathfrak{p}_j)(\mathfrak{p}_2\mathfrak{p}_k)$. Por lo tanto, todos los factorizations de $I$ en los principales ideales de la se $\mathfrak{p}_2^2 (\mathfrak{p}_2\mathfrak{p}_3) (\mathfrak{p}_7\mathfrak{p}_{127}), \mathfrak{p}_2^2 (\mathfrak{p}_2\mathfrak{p}_7) (\mathfrak{p}_3\mathfrak{p}_{127}), \mathfrak{p}_2^2 (\mathfrak{p}_2\mathfrak{p}_{127}) (\mathfrak{p}_3\mathfrak{p}_7)$$(\mathfrak{p}_2\mathfrak{p}_3)(\mathfrak{p}_2\mathfrak{p}_7)(\mathfrak{p}_2\mathfrak{p}_{127})$.
Escrito esto, tenemos cuatro factorizations
- $I = (2)(1 - \sqrt{-5})(22 + 9\sqrt{-5})$,
- $I = (2)(3-\sqrt{-5})(19 + 2\sqrt{-5})$,
- $I = (2)(3 + 7\sqrt{-5})(1+2\sqrt{-5})$,
- $I = (1-\sqrt{-5})(3-\sqrt{-5})(3 + 7\sqrt{-5})$.
Como las únicas unidades en $\mathbf{Z}[\sqrt{-5}]$$\pm 1$, esto conduce (al elegir el derecho de los signos) a cuatro factorizations de $-134 + 26\sqrt{-5}$$\mathbf{Z}[\sqrt{-5}]$:
- $-134 + 26\sqrt{-5} = -2(1 - \sqrt{-5})(22 + 9\sqrt{-5})$,
- $-134 + 26\sqrt{-5} = -2(3-\sqrt{-5})(19 + 2\sqrt{-5})$,
- $-134 + 26\sqrt{-5} = 2(3 + 7\sqrt{-5})(1+2\sqrt{-5})$,
- $-134 + 26\sqrt{-5} = -(1-\sqrt{-5})(3-\sqrt{-5})(3 + 7\sqrt{-5})$.
La factorización de la número 3 es la una de la pregunta. El factorizations en reducible elementos (correspondiente a la partición de $6 = 4 + 2$) se obtienen multiplicando dos de los tres factores en los productos anteriores.
