Número de cuadrados y rectángulos en una cuadrícula con una esquina eliminada

Question

Deseo encontrar el número de cuadrados y rectángulos en un $8\times9$ cuadrícula a cuadros con dos casillas eliminadas de la parte superior derecha. He podido encontrar el número total de cuadrados y los rectángulos de la cuadrícula sin la eliminación de los dos cuadrados.

Desde $n=9,m=8$ Por lo tanto $n-m=1$ .

número de casillas = $\sum_{r=1}^8 (r+r^2) = \frac{8(8+1)}{2}+\frac{8(8+1)[2(8)+1]}{6}$ =240

número de rectángulos = $\frac {(9)(9+1)(8)(8+1)}{4}$ = 1620

La red en cuestión:

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Edición: Los cálculos anteriores se derivaron así:

número de casillas en una cuadrícula m*n, donde $m\le n$ ,

$=\sum _{r=1}^m r(n-m+r)\\=\sum _{r=1}^m (n-m)r+r^2\\=(n-m)\sum _{r=1}^m r+\sum _{r=1}^mr^2\\=\frac {1}{2}m(m+1)+\frac {1}{6}m(m+1)(2m+1)$

número de rectángulos en un $m\times n$ de la red, donde $m\le n$ ,

$={m+1 \choose 2}{n+1 \choose 2}\\=\frac{1}{2}(m)(m+1)\times\frac{1}{2}(n)(n+1)\\=\frac {1}{4}(m)(m+1)(n)(n+1)$

Por favor, disculpen el mal formato. Estaría muy agradecido si alguien pudiera orientarme sobre el formato.

Answer 1

Sugerencia :

Para las plazas, es obvio que el número de $1\times 1$ cuadrados reducidos por el truncamiento es $2$ . Este es también el caso de $2\times 2 ,3\times 3, ...$ cuadrados, es decir, el total de cuadrados reducidos es $16$ .

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Para su información, para un $m\times n$ rejilla en la que $n=m+1$ El número de cuadrados viene dado por

$$\begin{align} \sum_{r=1}^m (m-r+1)(n-r+1) &=\sum_{s=1}^m s(s+1) &&(s=m-r+1)\\ &=2\sum_{s=1}^m \binom {s+1}2\\ &=2\binom {m+2}3\\ &=\frac 13m(m+1)(m+2)\end{align}$$

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Apéndice: Solución más amplia

Considere un $m\times n$ rejilla en la que $n=m+1$ . Aquí $m=8$ es decir $n=9$ .

CUADROS

Método sustractivo

• El número de casillas de la cuadrícula completa es $\displaystyle \frac 13 m(m+1)(m+2)=240$ .

• El cuadrado pequeño de la izquierda forma parte de $m$ cuadrados (cada uno de dimensión $q\times q, q=1,2,3,\cdots, m$ ). Por lo tanto, el truncamiento de estos cuadrados pequeños reduce el número de cuadrados en $m$ . Lo mismo ocurre con el segundo cuadrado pequeño de la izquierda*. Por lo tanto, el truncamiento de los dos cuadrados reduce el número total de cuadrados en $2m=16$ .

• Por lo tanto, el número total de casillas después del truncamiento es $240-16=\color{red}{224}$

Método aditivo (Esto es similar a la solución de Mythomorphic ahora eliminada) .

• Número de casillas en un $p\times q$ rejilla ( $p<q$ ) es $S_{p,q}=\displaystyle \sum_{r=1}^p (q+1-r)(p+1-r)=\sum_{s=1}^p s(s+q-p)=\frac16 p(p+1)(3q-p+1)$
• El número de casillas en la cuadrícula truncada es $\displaystyle \underbrace{S_{7,9}}_{7\times 9\text{grid}}+\underbrace{S_{7,8}}_{8\times 7\text{grid}}-\underbrace{S_{7,7}}_{\text{overlapping $ 7 \times 7 $ grid}}=196+168-140=\color{red}{224}$

RECTÁNGULOS

Método sustractivo

• El número de rectángulos en la cuadrícula completa es $\displaystyle \binom {m+1}2\binom{m+2}2=1620$ .
• El cuadrado pequeño de la izquierda forma parte de $\displaystyle\sum_{r=1}^n\sum_{s=1}^m rs=mn=m(m+1)$ rectángulos (cada uno de dimensión $r\times s$ ). Por lo tanto, el truncamiento del cuadrado más pequeño de la izquierda reduce el número de rectángulos en $m(m+1)$ .
• El segundo cuadrado pequeño de la izquierda forma parte de $\displaystyle\sum_{r=1}^{n-1}\sum_{s=1}^m rs=m(n-1)=m^2$ rectángulos (cada uno de dimensión $r\times s$ ). Por lo tanto, el truncamiento del segundo cuadrado pequeño de la izquierda reduce el número total de cuadrados en $m^2$ .
• El truncamiento del primer y segundo cuadrado pequeño de la izquierda reduce el número total de rectángulos en $m(2m+1)=136$ .
• Por lo tanto, el número total de rectángulos después del truncamiento es $1620-136=\color{red}{1484}$

Método aditivo (Esto es similar a la solución de Mythomorphic ahora eliminada) .

• Número de rectángulos en un $p\times q$ rejilla ( $p<q$ ) es $R_{p,q}=\displaystyle \binom {p+1}2\binom {q+2}2$
• El número de rectángulos en la cuadrícula truncada es $\displaystyle \underbrace{R_{7,9}}_{7\times 9\text{grid}}+\underbrace{R_{7,8}}_{8\times 7\text{grid}}-\underbrace{R_{7,7}}_{\text{overlapping $ 7 \times 7 $ grid}}\\=\binom 82\binom {10}2+\binom 82\binom 92-\binom 82\binom 82=1260+1008-784=\color{red}{1484}$