Demostrar que $f:(a, b) \to \mathbb R$ tiene más de countably simple discontinuidades

Question

Este es el problema 17 en el bebé Rudin del capítulo sobre la continuidad. Él tiene una sugerencia para el uso de trillizos de racionales, que se une cada simple discontinuidad en la izquierda, a la derecha, y entre los valores de los límites de la izquierda y la derecha. Parece que este puede ser debilitado a sólo racionales a la izquierda y a la derecha.

Simple discontinuidades son aquellos en los que el límite de la izquierda y la derecha existe, por lo que debe haber intervalos a la izquierda y a la derecha de una simple continuidad en la que ningún otro simple discontinuidad puede existir. Más precisamente, vamos a $c$ $c'$ ser simple discontinuidades para $f$ $(a,b)$ y considerar el límite, $l$ $f$ aproxima $c$ de la izquierda:

$$\forall \epsilon >0, \exists \delta>0 : c-x<\delta \Rightarrow |l-f(x)|<\epsilon$$

pero $ \exists \epsilon '>0 \forall \delta '>0 : |c'-x|<\delta '\Rightarrow |f(c')-f(x)|>\epsilon" \ \ \, por tanto \epsilon = \epsilon", \delta ' = \delta \rightarrow \leftarrow $

Por lo tanto, usted puede hacer una inyección de la serie de sencillas discontinuidades a un subconjunto de los racionales por la asociación de cada una simple discontinuidad con una racional en la ya mencionada "libre" intervalo a la izquierda; desde allí componer con el mapa de racionales a los números enteros para mostrar contables. Es este argumento correcto?

Answer 1

Deje de $E_n = \left\{ x \in \a la izquierda( a , b \right) \mid \lvert \lim_{t \x^+} f(t) - \lim_{t \x^-} f(t) \rvert > \frac{1}{n} \right\}$, the set of simple discontinuities whose jumps are greater than $\frac{1}{n}$. Then $E_1 \subconjunto E_2 \subconjunto\cdots$ and $\taza^\infty_{i=1} E_i$ is the set of all simple discontinuities. If all of the $E_n$ are countable, then $\taza^\infty_{i=1}E_i$ es contable.

Supongamos $ x \in E_n $.

El lado izquierdo del límite existe, por lo que

$$ \exists \delta^-_x > 0 \colon t \en \left( x - \delta^-_x x \right) \implica \lvert f(t) - \lim_{t \x^-} f(t) \rvert < \frac{1}{4n} $$

Supongamos $y \in \left( x - \delta^-_x, x \right)$ es un simple discontinuidad. Entonces

$$ \exists \delta^-_y > 0 \colon t \( y \delta^-_y, y ) \implica \lvert f(t) - \lim_{t \to y^-} f(t) \rvert < \frac{1}{4n} \\ \exists \delta^+_y > 0 \colon t \en ( y, y + \delta^+_y ) \implica \lvert f(t) - \lim_{t \to y^+} f(t) \rvert < \frac{1}{4n} $$

A continuación, $\exists z^- \in (y - \delta^-_y, y) \cap (x - \delta^-_x, x), z^+ \in (y, y + \delta^+_y) \cap (x - \delta^-_x, x) \colon$

$$ \lvert \lim_{t \to y^+} f(t) - \lim_{t \to y^-} f(t) \rvert \leq \\ \lvert \lim_{t \to y^+} f(t) - \lim_{t \x^-} f(t) \rvert + \lvert \lim_{t \to y^-} f(t) - \lim_{t \x^-} f(t) \rvert \leq \\ \lvert \lim_{t \to y^+} f(t) - f(z^+) \rvert + \lvert \lim_{t \x^-} f(t) - f(z^+) \rvert + \lvert \lim_{t \to y^-} f(t) - f(z^-) \rvert + \lvert \lim_{t \x^-} f(t) - f(z^-) \rvert \leq \\ \frac{1}{n} $$

Así que

$$ \forall x \in E_n \exists \delta > 0 \colon y \(x \delta x ) \implica y \no \en E_n $$

Esto nos dice que para un salto en $x$, existe una izquierda vecindario alrededor de x tal que los saltos en el barrio son más pequeños que el salto en $x$ (podríamos probar lo mismo con la mano derecha el barrio, pero que resulta ser innecesario). Para cada una de las $x$, elija un número racional $q \in \mathbb{Q}$$(x - \delta, x )$, por ejemplo,

$$ \frac{ \lceil (x - \delta) ( \lceil \frac{1}{\delta} \rceil + 1 ) \rceil + 1}{\lceil \frac{1}{\delta} \rceil + 1} $$

Puesto que el $(x - \delta, x)$ son distintos, $g \colon x \mapsto q$ es una inyección de $g \colon E_n \rightarrowtail \mathbb{Q}$ (cada una de las $x$ mapas a diferentes $q$). Desde $\mathbb{Q}$ es contable, por lo que es $E_n$.

Answer 2

así que debe haber intervalos a la izquierda y a la derecha de una simple continuidad en la que ningún otro simple discontinuidad puede existir.

Que es incorrecta. Considere la posibilidad de una enumeración $r_n$ de los racionales, y vamos a

$$f(x) = \sum_{\substack{n \in \mathbb{N}\\r_n < x}} 2^{-n}.$$

A continuación, $f$ es estrictamente monótona de la función que tiene una discontinuidad de salto en cada número racional.

Sin embargo, como los puntos de discontinuidad acerques $y \in \mathbb{R}$, los saltos tienden a $0$, de hecho, la suma de todos los saltos en las discontinuidades $\neq y$ contenida en un barrio de $y$ tiende a $0$ cuando el barrio se reduce a un punto.

Answer 3

1. Saltar discontinuidades en la mayoría de los contables

Deje $J=\{x\in(a,b):f(x+0),f(x-0)\text{ exist and doesn't equal }\}$, y $$J_+=\{x\in J:f(x-0)<f(x+0)\}, J_-=\{x\in J: f(x-0)>f(x+0)\}$$ Así que tenemos una descomposición $J=J_+\cup J_-$. Ahora podemos demostrar que $J_+$ es en la mayoría de los contables.

Para cualquier $x\in J_+$, por la densidad de los racionales, podemos optar $r_x\in (f(x-0),f(x+0))\cap\mathbb{Q}$.

Por un lado, $f(x-0)<r_x$ sabemos $\exists \delta_-\in(0,x-a)$ tal que $\forall z\in (x-\delta_-,x)$ tenemos $f(z)<r_x$. También por la densidad de los racionales, podemos optar $s_x\in (x-\delta_-,x)\cap\mathbb{Q}$. Como resultado, $\forall z\in(s_x,x)$ tenemos $f(z)<r_x$.

Por otro lado, $f(x+0)>r_x$ sabemos $\exists \delta_+\in(0,b-x)$ tal que $\forall z\in (x, x+\delta_+)$ tenemos $f(z)>r_x$. También por la densidad de los racionales, podemos optar $t_x\in (x, x+\delta_+)\cap\mathbb{Q}$.Como resultado $\forall z\in(x,t_x)$ tenemos $f(z)>r_x$.

Por lo tanto, $\forall x\in J_+$ le corresponde un triplete $(r_x,s_x,t_x)$. Por el Axioma de Elección, podemos definir una función: \begin{align*} j_+:J_+ &\to \mathbb{Q}^3\\ x &\mapsto (r_x,s_x,t_x) \end{align*} Nos muestran que es una inyección: Supongamos $\exists x\neq y \in J_+$ tal que $j_+(x)=j_+(y)$, es decir,$r_x=r_y=r,s_x=s_y=s,t_x=t_y=t$. Sin pérdida de generalidad asumiendo $x<y$, ten en cuenta que nos podemos encontrar en $z\in (a,b)$ satisfacción $s<x<z<y<t$. De $x<z<t$ siguiente $f(z)>r$ e de $s<z<y$ siguiente $f(z)<r$, lo cual es una contradicción.

Ahora tenemos una inyección de$J_+$$\mathbb{Q}^3$, y en el countability de este último, llegamos a la conclusión de que $J_+$ es en la mayoría de los contables. El mismo argumento vale para $J_-$ y demuestra $J_-$ y, por tanto, $J=J_+\cup J_-$ son en la mayoría de los contables.

2. Extraíble disconitnuities son en la mayoría de los contables

Deje $R=\{x\in(a,b): f(x+0),f(x-0)\text{ exist and equal but differs from }f(x)\}$. Descomponer este conjunto en dos: $R=R_+\cup R_-$, donde $$R_+=\{x\in R: f(x+0)=f(x-0)>f(x)\},R_-=\{x\in R: f(x+0)=f(x-0)<f(x)\}$$ Ahora nos muestran que la $R_+$ es en la mayoría de los contables.

Para cualquier $x\in R_+$, vamos a $A_x=\lim\limits_{t\to x}f(t)>f(x)$. Por la densidad de los racionales podemos optar $r_x\in (f(x),A_x)\cap \mathbb{Q}$. Sabemos $\exists \delta\in (0,\min\{x-a,b-x\})$ tal que $\forall z\in (x-\delta,x+\delta)\backslash\{x\}$ tenemos $f(z)>r_x$. También por la densidad de los racionales podemos optar $s_x\in (x-\delta,x)\cap \mathbb{Q}, t_x\in (x,x+\delta)\cap \mathbb{Q}$. Como resultado, $\forall z\in (s_x,t_x)\backslash \{x\}$ tenemos $f(z)>r_x$. Por el Axioma de Elección, podemos definir una función: \begin{align*} r_+:R_+&\to \mathbb{Q}^3\\ x&\mapsto (r_x,s_x,t_x) \end{align*}

Supongamos que $r_+$ no es una inyección. A continuación, podemos encontrar $x<y\in R_+$ tal que $r_+(x)=r_+(y)$, es decir,$r_x=r_y=r,s_x=s_y=s,t_x=t_y=t$. De $x\in (s,t)\backslash \{y\}$ siguiente $f(x)>r$, lo que contradice $r=r_x\in(f(x),A_x)$. Ahora tenemos una inyección de $R_+$ a $\mathbb{Q}^3$, y en el countability de este último sabemos que $R_+$ es en la mayoría de los contables. Por un argumento similar, se puede definir una inyección de $r_-:R_-\to \mathbb{Q}^3$, y sabe que $R_-$ es también en la mayoría de los contables. Llegamos a la conclusión de que $R=R_+\cup R_-$ es en la mayoría de los contables.

3. Simple dicontinuities son en la mayoría de los contables.

Esto se deduce de 1 y 2 a partir de simple discontinuidades, ya sea saltando o extraíble.