Descomposición en fracción parcial de una función racional con denominador $x^5+2x^4+x^3-x^2-2x-1$

Question

Factoriza el denominador completamente y escribe $f(x)$ como una fracción parcial dada $$f(x) = \frac{2x^5+15x^4+15x^3+2x^2+2}{x^5+2x^4+x^3-x^2-2x-1}$$

¿Alguna idea para esta pregunta de fracción parcial? No tengo ni idea de cómo hacerlo, los métodos normales a los que estoy acostumbrado no funcionan. Cualquier consejo para la dirección será muy apreciado

Probé los métodos generales de descomponer el denominador y colocar las partes sobre A y B, así como C - las 2 factorizaciones que intenté usar fueron (x + 1)^2 (x^3 - 1) y (x+1)^2 ( x^2 + x + 1) (x-1). Intenté también la división larga de los polinomios pero por alguna razón no pude conseguir que funcionara. Gracias por los comentarios.

Answer 1

No es una simetría sugerir algo...? $$x^5+2x^4+x^3-x^2-2x-1$$ $$=(x^5+2x^4+x^3)-(x^2+2x+1)$$ $$=x^3(...?...)-(x^2+2x+1)$$ $$=(x^3-...?...)(x^2+2x+1)$$

Ahora una simetría de la última paréntesis puede ser explotado, y $(x^3-\text{const})$ puede ser descompuesto, demasiado.

EDITAR

Antes de factorización hacer la división. Tanto el numerador y el denominador tienen el mayor poder de plazo $x^5$, por lo que hay una parte entera igual a $2$ (por Qué?): $$\frac{2x^5+15x^4+15x^3+2x^2+2}{x^5+2x^4+x^3-x^2-2x-1} = 2 + \frac{\text {some 4th-degree polynomial}}{x^5+2x^4+x^3-x^2-2x-1}$$ Encontrar en el nuevo numerador restando dos veces el denominador de la original numerador.

A continuación, comenzar a romper su función en fracciones parciales.

Answer 2

Ayuda a la puesta en marcha

El denominador tiene una raíz $x=1$ y $x=-1$ así que $$(x-1)(x+1)g(x)=x^5+2x^4+x^3-x^2-2x-1$$

$$(x^2-1)g(x)=x^5+2x^4+x^3-x^2-2x-1$$

Utiliza la división larga para encontrar $g(x)$ Y factorizar más.

Answer 3

$$f(x) = \frac{2x^5+15x^4+15x^3+2x^2+2}{x^5+2x^4+x^3-x^2-2x-1}$$

Primero: Por división larga polinómica, obtenemos $$f(x)= \frac{2x^5+15x^4+15x^3+2x^2+2}{x^5+2x^4+x^3-x^2-2x-1} = 2 + \frac{5x^4 + 13x^3+ 4x^2 + 4x+4}{x^5 + 2x^4 +x^3-x^2-2x - 1}$$

Ahora, factorizamos el denominador. Observando que ambos $x=-1$ y $x = 1$ son raíces del denominador, sabemos que $$x^5+2x^4 + x^3 - x^2 - 2x - 1 = (x-1)(x+2)g(x)$$ Para resolver el polinomio de tercer grado $g(x)$ dividimos el denominador por $(x-1)(x+1) = x^2 - 1$ para obtener $$g(x) = x^3 + 2x^2 + 2x +1 = (x+1)(x^2 + x+1)$$

Eso nos da $$f(x) = 2 +\frac{5x^4+13x^3 + 4x^2 + 4x + 4}{(x-1)(x+1)^2(x^2 + x + 1)} = 2 + \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+1} + \frac C{(x+1)^2} + \frac{Dx + E}{x^2 + x + 1}$$

¿Puedes llevarlo desde aquí? Sólo tenemos que resolver para $A, B, C, D, E$ sabiendo que $$A(x+1)^2(x^2 + x+1) + B(x-1)(x+1)(x^2 + x + 1) + C(x-1)(x^2 + x + 1) + (Dx+E)(x-1)(x+1)^2 = 5x^4 + 13x^3 + 4x^2 + 4x + 4$$