Automorfismos del plano puntuado

Question

Es bien sabido que el conjunto de automorfismos (mapas propios biyectivos, conformes) de

• $\Bbb{C}_{\infty}$ es $\dfrac{az+b}{cz+d},\,\,\,ad-bc\not=0$ (transformaciones de Möbius),
• $\Bbb{C}$ es $az+b,\,\,\, a\not=0$ (escalar+rotar+traducir),
• $\Bbb{H}$ es $\dfrac{az+b}{cz+d},\,\,\,ad-bc\not=0$ con $a,b,c,d\in\Bbb{R}$ ,
• $\Bbb{D}$ es $e^{i\theta}\dfrac{z-a}{1-\bar{a}z},\,\,\,|a|\lt1,\,\,\,\theta\in\Bbb{R}$ ,
• $\text{Ann}(0,r_1,r_2)$ es $e^{i\theta}z,\,\,\,\theta\in\Bbb{R}.$

Aquí estoy intentando averiguar los automorfismos del plano puntuado $\Bbb{C}\setminus\{0\}.$ Mi conjetura es que es la colección de funciones de la forma $az+\dfrac{b}{z},$ donde $a,b$ son dos números complejos cualesquiera con $|a|^2+|b|^2\not=0.$ ¿Es correcto? Si es así, ¿cómo puedo demostrarlo rigurosamente?

Answer 1

El grupo de automorfismo de $\mathbb{C}\setminus \{0\}$ se genera mediante mapas lineales $z\mapsto az$ (con $a\ne 0$ ) y la inversión $z\mapsto 1/z$ . Así, cada elemento del grupo puede escribirse como $z\mapsto az^{\pm 1}$ .

En efecto, supongamos $f$ es un automorfismo de $\mathbb{C}\setminus \{0\}$ . Desde $f$ es inyectiva, $0$ no puede ser un punto de singularidad esencial (recordemos el teorema de Picard), por lo que o es un polo o una singularidad removible. Sustituyendo $f$ con $1/f$ si es necesario, podemos suponer $0$ es extraíble. Entonces $f$ se extiende a un automorfismo de $\mathbb{C}$ Así que $f(z)=az+b$ . Y como arregla $0$ , $b=0$ .