Al igual que muchos libros de programación, hay libros de matemáticas que no ofrecen ejercicios. Aunque son similares en teoría, ¿cómo puedo encontrar ejercicios que ayuden a iluminar un tema? La diferencia es que cuando cojo un libro de programación, generalmente tengo en mente una aplicación para el tema que sea. Esto no es necesariamente cierto cuando cojo un libro de matemáticas porque no estoy seguro de qué tipo de preguntas debo hacer. Por ejemplo, cuando vi por primera vez la definición de un espacio de medidas, no estaba seguro de qué tipo de preguntas debía hacerme para poder intuir mejor el tema. No fue hasta que vi múltiples ejemplos y resolví muchos ejercicios que aprendí qué tipo de preguntas se investigaban en el libro que leí. Adquirir una habilidad de este tipo en la que pueda tomar una definición y extrapolar el significado es algo que deseo firmemente. ¿Es este tipo de habilidad algo que todo el mundo aprende a medida que gana más madurez matemática, de forma natural, o es algo que hay que buscar?
Respuesta
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Diseñar buenos ejercicios es una especie de arte y ciertamente algunos autores son más hábiles que otros. Como cualquier otra habilidad, se perfecciona con la experiencia y mejora con la edad.
Los ejercicios sirven para diferentes propósitos. Algunos ejercicios pretenden obligar al lector a luchar contra una definición. Por ejemplo, pedir al lector que demuestre que una axiomatización de un concepto (digamos un grupo) es equivalente a otra axiomatización obligará al lector a entender realmente los axiomas, a pensar en ellos y a utilizarlos. Otros ejercicios pretenden que el lector domine una técnica (de cálculo o de demostración). Por ejemplo, ejercicios en los que se pide al lector que calcule el determinante de una matriz o que demuestre una afirmación mediante una inducción directa. Algunos ejercicios están diseñados para ser resueltos imitando la demostración de un resultado similar dado en el libro, donde esa demostración puede ser difícil o técnicamente involucrada o de otra manera un poco complicada. Esto obliga al lector a comprender realmente la prueba y a aprender a adaptarla para demostrar resultados similares. Un ejemplo sería pedir al lector que demuestre que la traza de una matriz está bien definida en las clases de semejanza después de ver que el determinante tiene la misma propiedad.
En un nivel más holístico están los ejercicios que pretenden iluminar una propiedad global de una teoría o alguna similitud a gran escala con otras teorías. Por ejemplo, una serie de ejercicios que ilustran la interacción entre matrices y transformaciones lineales. Y también están los ejercicios "a-ha". Ejercicios que se resuelven fácilmente en cuanto te das cuenta de ese teorema o conepto que lo mata. Por ejemplo, la demostración de que la matriz de Van Dermonde es distinta de cero queda muy clara una vez que se establece la conexión con los polinomios, utilizando una sencilla propiedad de éstos. Otro tipo de ejercicios son los que pretenden ilustrar diferencias sutiles que el lector podría no esperar. Por ejemplo, el diferente comportamiento entre los espacios vectoriales de dimensión finita y los de dimensión infinita (por ejemplo, demostrar que una transformación lineal entre espacios vectoriales de dimensión finita del mismo diemsnion es inyectiva si, y sólo si, es suryectiva, mientras que para los espacios vectoriales de dimensión infinita esto no es cierto).
Seguro que me he dejado algún otro tipo de ejercicio por ahí. De todos modos, cuando diseño ejercicios (para cualquier propósito ilustrativo) trato de pensar primero en el objetivo principal que la sección quiere lograr, y luego trato de tener una buena mezcla de tipos de ejercicios. Luego trato de pensar en los ejercicios y para mí simplemente surgen (a menos que esté demasiado cansado). Por supuesto, ayuda haber leído muchos libros con ejercicios y haber trabajado realmente con muchos ejercicios.
