La Factorización prima de secuencia

Question

Estoy buscando en de la Factorización de Enteros y han encontrado un patrón interesante que no puedo explicar.

Para un número compuesto $N$ donde $N = PQ$.
Todos los factores de $(P + Q)$ se encuentra entre los factores de $(Nx^2 + 1)$ por entero $x > 0$.

Por ejemplo, $5713 = 29\cdot197$
$(P + Q) = 226 = 2 \cdot 113$

La secuencia de $(5713 x^2 + 1)$ es:
$5714, 22853, 51418, 91409, 142826\cdots$

La única factorización prima de esta secuencia es:
$2, 17, 19, 43, 47, 53, 67, 71, 73, 89, 103, 109, 113, 127, 139, 151, 163\cdots$

Tenga en cuenta que no todos los prime está en la lista, $3, 5, 7, 11, 13\dots$ faltan.
Sin embargo, los factores primos de a $(P + Q)$ (en este caso $2$ & $113$).

Es alguien capaz de arrojar algo de luz sobre
1. Por qué algunos de los números primos son los que faltan de la única factorización prima de la secuencia?
2. ¿Por qué los factores de $(P + Q)$ están contenidas en la factorización de esta secuencia?

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Muy factorable números de trabajar demasiado.
$3795 = 3 \cdot 5 \cdot 11 \cdot 23$

$(P + Q)$ puede ser cualquiera de $(124, 148, 188, 268, 356, 764, 1268)$ y los factores de todo se puede encontrar entre la única factorización prima de $(3795 x^2 + 1)$.

El único ejemplo que he encontrado donde esto no funciona es cuando N es un cuadrado (por ejemplo. $4, 9, 16$) o un múltiplo de un cuadrado (por ejemplo. $12, 75, 98$).

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Me disculpo por cualquier problemas de terminología, mis conocimientos de matemáticas no es muy grande.
Me sugirió matemáticas.stackexchange más de stackoverflow.

Answer 1

Muy bonito observación! Nunca he visto esto antes, pero he aquí una prueba simple.

Supongamos $p|P+Q$ donde $p$ es un primo.

A continuación, $Q = -P$ mod $p$, e $PQ = -P^2$ mod $p$.

Para $p$ a factor un elemento de la secuencia que requieren $p|(PQx^2 + 1)$ para algunos $x$. Es decir, $PQx^2 = -1$ mod $p$.

La combinación de estas dos relaciones, obtenemos $$ P^2x^2 = 1 \quad mod \espacio p $$ que es satisifed siempre $x = \pm P^{-1}$ mod $p$

Para entender por qué algunos de los números primos están ausentes de los factores de la secuencia, usted necesita aprender acerca de los residuos cuadráticos. Estos están cubiertos en cualquier texto introductorio a la teoría de números. La respuesta simple es que para un primer $p$ a existir en la secuencia, $-PQ$ debe ser un residuo cuadrático módulo $p$.