Deje $A$ ser ortogonal $n\times n$ matriz. Mostrar que $\|A\vec x\|=\|A^{-1}\vec x\|$ para cualquier vector $x$ $\mathbb R^2$

Question

Deje $A$ ser ortogonal $n\times n$ matriz. Mostrar que $\|A\vec x\|=\|A^{-1}\vec x\|$ para cualquier vector $\vec x$ $\mathbb R^2$

Quiero mostrar que la $\|A\vec x\|=\|A^{-1}\vec x\|=\|\vec x\|$

He intentado mostrar que desde $A^TA=I$, entonces el uso de $A^T=A^{-1}$,

$\|A^{-1}\vec x\|=(A^{-1}\vec x)\cdot(A^{-1}\vec x)=(A^{-1}\vec x)^T(A^{-1}\vec x)=\vec x^T(A^{-1})^TA^{-1}\vec x=\vec x^T(A^{T})^TA^{-1}\vec x=\vec x^TAA^{-1}\vec x$.

Me quedé atrapado aquí, ya que, por definición, $A^TA\neq AA^T$ (o es)?

Cualquier sugerencia se agradece!

Answer 1

Sugerencia: Usted necesita el hecho de

una matriz de $Q$ es ortogonal si su transpuesta es igual a su inverso: $$Q^\mathrm{T}=Q^{-1}, \,$$ lo cual implica $$ Q^\mathrm{T} Q = Q Q^\mathrm{T} = I.$$