La evaluación de la integral de la $\int_{-1}^{1}\frac{x^2\,dx}{e^x+1}$

Question

Esta integral puede ser evaluado adecuadamente mediante el uso de la secundaria, la integración de conocimientos ?

$$\int_{-1}^{1}\dfrac{x^2}{e^x+1}\,dx$$

(Imagen Original en http://i.stack.imgur.com/AqOsX.png)

A juzgar por lo que me llega de WolframAlpha, los primitivos implican dilogarithms y otros que se ven bastante desordenado así. Puedes sugerir algún tipo de solución, o tal vez un enfoque interesante ?

Gracias !

Answer 1

Deje $I = \displaystyle\int_{-1}^{1}\dfrac{x^2}{e^x+1}\,dx$. El uso de la sustitución $x = -u$, $dx = -du$ para obtener:

$I = -\displaystyle\int_{1}^{-1}\dfrac{(-u)^2}{e^{-u}+1}\,du = \int_{-1}^{1}\dfrac{u^2}{e^{-u}+1}\,du = \int_{-1}^{1}\dfrac{u^2e^u}{1+e^u}\,du$.

Por lo tanto, $2I = I+I = \displaystyle\int_{-1}^{1}\dfrac{x^2}{e^x+1}\,dx + \int_{-1}^{1}\dfrac{u^2e^u}{1+e^u}\,du$

$= \displaystyle\int_{-1}^{1}\left[\dfrac{x^2}{e^x+1} + \dfrac{x^2e^x}{1+e^x}\right]\,dx = \int_{-1}^{1}\dfrac{x^2(1+e^x)}{1+e^x}\,dx = \int_{-1}^{1}x^2\,dx = \dfrac{2}{3}$.

Desde $2I = \dfrac{2}{3}$,$I = \dfrac{1}{3}$.