diophantine aproximación

Question

Para que $\alpha \in \mathbb R$, se puede decir que $\forall \epsilon > 0$ no $\exists N \geq 1$ tal que $\forall i \in \mathbb N$ uno tiene que algunos $n\in \{1, \dots, N\}$ es una solución para

$$ \min_{m\in \mathbb Z} |\alpha^{en} - m| \leq \epsilon. $$

Se puede encontrar un atado $N$ para todos los números reales $\alpha$? Alguien puede ver cualquiera de las condiciones suficientes en $\alpha$ tal de que esto funciona? ¿Qué acerca de la $\alpha = e$$\alpha^{in} = \exp(in)$?

Gracias

Answer 1

Es cierto para cualquier entero algebraico $\alpha$ tener exactamente un conjugado fuera del círculo unidad, ya que para tal $\alpha$ la distancia de $\alpha^n$ al entero más cercano va a cero, como se $n$ va al infinito. Sospecho que es una pregunta muy difícil para otros bienes $\alpha$ --- es un problema muy difícil de decir nada acerca de los valores pequeños de la parte fraccionaria de $(3/2)^n$, por ejemplo, una pregunta de Mahler relacionados con el problema de Waring (Mahler papel es aquí).