Es la diagonal de morfismos siempre un monomorphism?

Question

Cuáles son las propiedades de una categoría tienen que ser cumplidas y que cada diagonal $\Delta:X\to X\times X$ es un monomorphism? Esto es cierto para "razonable" categorías?

Answer 1

Lema: En general, si $f\circ g$ es un monomorphism, a continuación, $g$ es un monomorphism.

Prueba: Si $g\circ h_1=g\circ h_2$$(f\circ g)\circ h_1=(f\circ g)\circ h_2$, y por lo tanto, desde el $f\circ g$ es un monomorphism, $h_1=h_2$. Por lo $g$ es un monomorphism.

Ahora, la categoría de la teoría de la definición de $\Delta$ es que es la única función que $\pi_1\circ \Delta = \pi_2\circ\Delta = 1_X$. Y $1_X$ es un monomorphism, por lo que, necesariamente, $\Delta$ es un monomorphism.

Así que nada adicional que se necesita, aparte de la existencia de $X\times X$ como una categoría de la teoría de producto.