Cuáles son los elementos del anillo de cociente $\mathbb{Z_3}[x]/(x^3 + x^2)$ ?

Question

$$R = \mathbb{Z_3}[x]/(x^3 + x^2).$$

Como $\mathbb{Z_3}$ es un campo tenemos que todo polinomio en $\mathbb{Z_3}[x]/(x^3 + x^2)$ de grado inferior a ${x^3 + x^2}$ es un elemento distinto en $R$ .

Así que concluyo que los siguientes son los elementos de $R$ .

$ \overline{0}, \overline{1}, \overline{2}$

$ \overline{x}, \overline{x + 1}, \overline{x + 2}, \overline{2x}, \overline{2x + 1}, \overline{2x + 2}, $

$ \overline{x^2}, \overline{x^2 + 1}, \overline{x^2 + 2}, \overline{x^2 +x}, \overline{x^2 + 2x}, \overline{x^2 + x + 1}, \overline{x^2 + x + 2}, \overline{x^2 + 2x + 1}, \overline{x^2 + 2x + 2}, $

$ \overline{2x^2}, \overline{2x^2 + 1}, \overline{2x^2 + 2}, \overline{2x^2 +x}, \overline{2x^2 + 2x}, \overline{2x^2 + x + 1}, \overline{2x^2 + x + 2}, \overline{2x^2 + 2x + 1}, \overline{2x^2 + 2x + 2},$

Además, hay que tener en cuenta que para cada elemento de $R$ tenemos $3$ opciones para el coeficiente y $3$ opciones para el exponente de $x \implies$ tenemos $3^3 = 27$ polinomios en $R$ .

¿Estoy en lo cierto?

Answer 1

Como se ha señalado en los comentarios, tiene razón. El anillo $\mathbb{Z}_3[x]/(x^3 + x^2)$ tiene $27$ elementos, y son precisamente los que usted anotó.