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Los puntos de coincidencia en los espacios compactos de Hausdorff.

Estoy realmente atascado en este ejercicio en mis apuntes del curso.

Deje que X y Y ser espacios compactos de Hausdorff y f,g:XY ser funciones continuas. Demuestra eso:

Hay un xX con f(x)=g(x) si y sólo si por cada tapa abierta C de Y Hay xX y un UC con f(x),g(x)U .

Probar la dirección de avance es muy fácil, pero la de retroceso no lo es tanto.

He tratado de probar lo contrario. Si f(x)g(x) para todos xX entonces existe una cubierta abierta C de Y de tal manera que para todos xX y UC , f(x)U o g(x)U .

Si f(x)g(x) entonces podríamos usar eso Y es Hausdorff así que para cada uno xX existe abierto Ux,VxX con UxVx= y f(x)Ux , g(x)Vx . Esto daría una cubierta abierta de f(X) y otra tapa abierta de g(X) .

Después de esto no tengo ideas. ¿Alguna idea de adónde podría ir desde aquí? (o dónde sería un mejor lugar para empezar?)

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richard Puntos 1

Parece lo siguiente.

Definir un mapa h:XY×Y poniendo h(x)=(f(x),g(x)) para cada punto xX . Ya que ambos mapas f y g son continuos, entonces el mapa h también es continuo. Desde X es un espacio compacto, h(X) es un subespacio cerrado de un espacio Hausdorff Y×Y . Además, desde que el conjunto h(X) no cruza la diagonal Δ={(y,y)Y×Y:yY} entonces cada punto y del espacio Y tiene un vecindario abierto Uy de tal manera que Uy×Uyh(X)= . Ponga C={Uy:yY} . Luego C es una cubierta abierta del espacio Y y no hay ningún elemento UC y un punto xX de tal manera que ambos puntos f(x) y g(x) pertenecen a U .

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