Estoy realmente atascado en este ejercicio en mis apuntes del curso.
Deje que XX y YY ser espacios compactos de Hausdorff y f,g:X→Yf,g:X→Y ser funciones continuas. Demuestra eso:
Hay un x∈Xx∈X con f(x)=g(x)f(x)=g(x) si y sólo si por cada tapa abierta CC de YY Hay x∈Xx∈X y un U∈CU∈C con f(x),g(x)∈Uf(x),g(x)∈U .
Probar la dirección de avance es muy fácil, pero la de retroceso no lo es tanto.
He tratado de probar lo contrario. Si f(x)≠g(x)f(x)≠g(x) para todos x∈Xx∈X entonces existe una cubierta abierta CC de YY de tal manera que para todos x∈Xx∈X y U∈CU∈C , f(x)∉Uf(x)∉U o g(x)∉Ug(x)∉U .
Si f(x)≠g(x)f(x)≠g(x) entonces podríamos usar eso YY es Hausdorff así que para cada uno x∈Xx∈X existe abierto Ux,Vx⊂XUx,Vx⊂X con Ux∩Vx=∅Ux∩Vx=∅ y f(x)∈Uxf(x)∈Ux , g(x)∈Vxg(x)∈Vx . Esto daría una cubierta abierta de f(X)f(X) y otra tapa abierta de g(X)g(X) .
Después de esto no tengo ideas. ¿Alguna idea de adónde podría ir desde aquí? (o dónde sería un mejor lugar para empezar?)