Los puntos de coincidencia en los espacios compactos de Hausdorff.

Question

Estoy realmente atascado en este ejercicio en mis apuntes del curso.

Deje que $X$ y $Y$ ser espacios compactos de Hausdorff y $f, g : X \to Y$ ser funciones continuas. Demuestra eso:

Hay un $x \in X$ con $f(x) = g(x)$ si y sólo si por cada tapa abierta $C$ de $Y$ Hay $x \in X$ y un $U \in C$ con $f(x), g(x) \in U$ .

Probar la dirección de avance es muy fácil, pero la de retroceso no lo es tanto.

He tratado de probar lo contrario. Si $f(x) \neq g(x)$ para todos $x \in X$ entonces existe una cubierta abierta $C$ de $Y$ de tal manera que para todos $x \in X$ y $U \in C$ , $f(x) \notin U$ o $g(x) \notin U$ .

Si $f(x) \neq g(x)$ entonces podríamos usar eso $Y$ es Hausdorff así que para cada uno $x \in X$ existe abierto $U_{x}, V_{x} \subset X$ con $U_{x} \cap V_{x}= \emptyset$ y $f(x) \in U_{x}$ , $g(x) \in V_x$ . Esto daría una cubierta abierta de $f(X)$ y otra tapa abierta de $g(X)$ .

Después de esto no tengo ideas. ¿Alguna idea de adónde podría ir desde aquí? (o dónde sería un mejor lugar para empezar?)

Answer 1

Parece lo siguiente.

Definir un mapa $h:X \to Y \times Y$ poniendo $h(x)=(f(x),g(x))$ para cada punto $x \in X$ . Ya que ambos mapas $f$ y $g$ son continuos, entonces el mapa $h$ también es continuo. Desde $X$ es un espacio compacto, $h(X)$ es un subespacio cerrado de un espacio Hausdorff $Y \times Y$ . Además, desde que el conjunto $h(X)$ no cruza la diagonal $\Delta =\{(y,y) \in Y \times Y: y \in Y \}$ entonces cada punto $y$ del espacio $Y$ tiene un vecindario abierto $U_y$ de tal manera que $U_y \times U_y \cap h(X)= \varnothing$ . Ponga $\mathcal C=\{U_y:y \in Y\}$ . Luego $\mathcal C$ es una cubierta abierta del espacio $Y$ y no hay ningún elemento $U \in\mathcal C$ y un punto $x \in X$ de tal manera que ambos puntos $f(x)$ y $g(x)$ pertenecen a $U$ .