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Los puntos de coincidencia en los espacios compactos de Hausdorff.

Estoy realmente atascado en este ejercicio en mis apuntes del curso.

Deje que XX y YY ser espacios compactos de Hausdorff y f,g:XYf,g:XY ser funciones continuas. Demuestra eso:

Hay un xXxX con f(x)=g(x)f(x)=g(x) si y sólo si por cada tapa abierta CC de YY Hay xXxX y un UCUC con f(x),g(x)Uf(x),g(x)U .

Probar la dirección de avance es muy fácil, pero la de retroceso no lo es tanto.

He tratado de probar lo contrario. Si f(x)g(x)f(x)g(x) para todos xXxX entonces existe una cubierta abierta CC de YY de tal manera que para todos xXxX y UCUC , f(x)Uf(x)U o g(x)Ug(x)U .

Si f(x)g(x)f(x)g(x) entonces podríamos usar eso YY es Hausdorff así que para cada uno xXxX existe abierto Ux,VxXUx,VxX con UxVx=UxVx= y f(x)Uxf(x)Ux , g(x)Vxg(x)Vx . Esto daría una cubierta abierta de f(X)f(X) y otra tapa abierta de g(X)g(X) .

Después de esto no tengo ideas. ¿Alguna idea de adónde podría ir desde aquí? (o dónde sería un mejor lugar para empezar?)

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richard Puntos 1

Parece lo siguiente.

Definir un mapa h:XY×Yh:XY×Y poniendo h(x)=(f(x),g(x))h(x)=(f(x),g(x)) para cada punto xXxX . Ya que ambos mapas ff y gg son continuos, entonces el mapa hh también es continuo. Desde XX es un espacio compacto, h(X)h(X) es un subespacio cerrado de un espacio Hausdorff Y×YY×Y . Además, desde que el conjunto h(X)h(X) no cruza la diagonal Δ={(y,y)Y×Y:yY}Δ={(y,y)Y×Y:yY} entonces cada punto yy del espacio YY tiene un vecindario abierto UyUy de tal manera que Uy×Uyh(X)= . Ponga C={Uy:yY} . Luego C es una cubierta abierta del espacio Y y no hay ningún elemento UC y un punto xX de tal manera que ambos puntos f(x) y g(x) pertenecen a U .

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