Cambiar la localización por la regularidad

Question

Al leer sobre la solución fundamental de Schrödinger en 1D,

$$u(t,x)=\frac{1}{\sqrt{4\pi it}} \int_\mathbb{R} u_0(y) e^{\frac{i(x-y)^2}{4t}}dy$$

el autor dice por lo que la evolución de Schrödinger se suaviza instantáneamente para los datos localizados: si $u_0$ está tan localizado como para ser absolutamente integrable pero no es suave, lo anterior demuestra que en todos los demás momentos $t>0$ , $u(t)$ es suave (pero no localizada) .

Veo que al diferenciar bajo el signo integral, si $u_0$ tiene un soporte compacto (no necesariamente suave), la integral converge y por lo tanto el intercambio es legítimo.

1. ¿Qué puede significar "localizado", además de "compactado"? El espacio de Schwartz serviría, por supuesto, pero ¿qué datos iniciales no lisos se consideran localizados?

2. También me gustaría una buena interpretación de lo siguiente, por favor: las altas frecuencias (espacio de Fourier) viajan muy rápido (sabemos que la dispersión es proporcional a la frecuencia en la ecuación de Schrödinger) e irradian rápidamente lejos del origen (¿del espacio físico?) donde se localizan inicialmente, dejando sólo las bajas frecuencias, que son siempre suaves, para permanecer cerca del origen . Esto lo veo cuando se rompe un dato inicial en un número finito de ondas que se "suman" a él, pero me parece que la suavidad lejos del origen no estaría garantizada.

Answer 1

Creo que esto es dualidad onda-partícula . Esta es la partícula libre con función de onda inicial $u_0(x)$ . Si la partícula estuviera localizada (es decir, "soportada de forma compacta"), las frecuencias contribuyentes deberían estar repartidas en el espacio del momento. La función de onda evolucionada en el tiempo $u(x,t)$ debe tener componentes que se han alejado arbitrariamente.

De forma más rigurosa, una trasnforma integral se define por $u_0(x) \mapsto \frac{1}{\sqrt{4\pi it}} \int_\mathbb{R} u_0(y) e^{\frac{i(x-y)^2}{4t}}dy$ Como $t \to 0$ esto es sólo dirac-delta. Como $t\to \infty$ la función de onda se extiende por todo $\mathbb{R}$ . Para cualquier tiempo positivo, la nueva función de onda será distinta de cero para posiciones arbitrariamente grandes.

El suavizado tiene que ver con la convolución con una gaussiana mientras $u_0(x)$ no explotó (probablemente está en $L^2(\mathbb{R})$ o Espacio Schwartz ).