Durante uno de mis exámenes para llevar a casa me pidieron que demostrara que en un espacio de medida finita, la convergencia en la medida es lo mismo que converger en casi todas partes. No lo pensé seriamente y escribí una prueba recibiendo la nota completa. Pero ahora me doy cuenta de que esta afirmación no puede ser correcta, porque hay fáciles contraejemplos. Así que me pregunto dónde está el error en mi "prueba" a continuación. Recuerdo que la examiné varias veces y pensé que era correcta.
Si fnfn no converge a ff en casi todas partes, existe algún subconjunto medible LL con medida positiva tal que limfn≠flimfn≠f en LL . LL es medible porque si dejamos que Ln=(∞⋃k=n{x||f(x)−fk(x)|>0)Ln=(∞⋃k=n{x||f(x)−fk(x)|>0) Entonces L=⋂∞n=1LnL=⋂∞n=1Ln . En particular, esto implica μ(Ln)≥μ(L)>T>0μ(Ln)≥μ(L)>T>0 para todos nn para algún número real TT .
Ahora tenemos Ln=(∞⋃i=1(∞⋃k=n{x||f(x)−fk(x)|≥1i)Ln=(∞⋃i=1(∞⋃k=n{x||f(x)−fk(x)|≥1i) Según nuestra suposición, deberíamos tener limn→∞μ(∞⋃k=n{x||f(x)−fk(x)|≥1i})=0,∀i∈N
Por lo tanto, en particular para cualquier ϵ<T20 hay una secuencia Nj→∞ tal que μ(∞⋃k=Nj{x||f(x)−fk(x)|≥1i})<ϵi22j Entonces μ(LN1)<∞∑i=1∞∑j=1ϵi22j=π2ϵ6<π2120T<T Esto se contradice con nuestra conclusión μ(Ln)>T arriba. Por lo tanto, fn→f casi en todas partes.