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¿Qué hay de malo en mi "prueba"?

Durante uno de mis exámenes para llevar a casa me pidieron que demostrara que en un espacio de medida finita, la convergencia en la medida es lo mismo que converger en casi todas partes. No lo pensé seriamente y escribí una prueba recibiendo la nota completa. Pero ahora me doy cuenta de que esta afirmación no puede ser correcta, porque hay fáciles contraejemplos. Así que me pregunto dónde está el error en mi "prueba" a continuación. Recuerdo que la examiné varias veces y pensé que era correcta.

Si fn no converge a f en casi todas partes, existe algún subconjunto medible L con medida positiva tal que lim en L . L es medible porque si dejamos que L_{n}=(\bigcup^{\infty}_{k=n}\{x||f(x)-f_{k}(x)|>0) Entonces L=\bigcap_{n=1}^{\infty} L_{n} . En particular, esto implica \mu(L_{n})\ge\mu(L)>T>0 para todos n para algún número real T .

Ahora tenemos L_{n}=(\bigcup^{\infty}_{i=1}(\bigcup^{\infty}_{k=n}\{x||f(x)-f_{k}(x)|\ge\frac{1}{i}) Según nuestra suposición, deberíamos tener \lim_{n\rightarrow \infty}\mu(\bigcup^{\infty}_{k=n}\{x||f(x)-f_{k}(x)|\ge \frac{1}{i}\})=0,\forall i\in \mathbb{N}

Por lo tanto, en particular para cualquier \epsilon<\frac{T}{20} hay una secuencia N_{j}\rightarrow \infty tal que \mu(\bigcup^{\infty}_{k=N_{j}}\{x||f(x)-f_{k}(x)|\ge \frac{1}{i}\})<\frac{\epsilon}{i^{2}2^{j}} Entonces \mu(L_{N_{1}})< \sum^{\infty}_{i=1}\sum^{\infty}_{j=1}\frac{\epsilon}{i^{2}2^{j}}=\frac{\pi^{2}\epsilon}{6}<\frac{\pi^{2}}{120}T<T Esto se contradice con nuestra conclusión \mu(L_{n})>T arriba. Por lo tanto, f_{n}\rightarrow f casi en todas partes.

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Joe Lencioni Puntos 4642

Su tercera ecuación mostrada no es cierta. (f_n) converge a f en medida si para cada \epsilon>0 tenemos \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\mu\bigl(\{x:|f(x)-f_n(x)|\ge\epsilon\}\bigr)=0.

Esto no implica que \lim\limits_{n\rightarrow\infty} \mu\Bigl(\bigcup\limits_{n=k}^\infty\{x:|f(x)-f_n(x)|\ge\epsilon\}\Bigr)=0.

Los conjuntos sobre los que el f_n están lejos de f puede ser diferente. Por ejemplo, consideremos la secuencia de funciones sobre el intervalo unitario: \chi_{[0,1]}, \chi_{[0,1/2]}, \chi_{[1/2,1]}, \chi_{[0,1/4]}, \chi_{[1/4,1/2]}, \dots Esta secuencia converge en medida a la función cero; pero, aquí tenemos \mu\Bigl(\bigcup\limits_{n=k}^\infty\{x:|f_n(x) |\ge\epsilon\}\Bigr)=1 para cualquier 0<\epsilon\le 1 .

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