¿Qué hay de malo en mi "prueba"?

Question

Durante uno de mis exámenes para llevar a casa me pidieron que demostrara que en un espacio de medida finita, la convergencia en la medida es lo mismo que converger en casi todas partes. No lo pensé seriamente y escribí una prueba recibiendo la nota completa. Pero ahora me doy cuenta de que esta afirmación no puede ser correcta, porque hay fáciles contraejemplos. Así que me pregunto dónde está el error en mi "prueba" a continuación. Recuerdo que la examiné varias veces y pensé que era correcta.

Si $f_{n}$ no converge a $f$ en casi todas partes, existe algún subconjunto medible $L$ con medida positiva tal que $\lim f_{n}\not=f$ en $L$ . $L$ es medible porque si dejamos que $$L_{n}=(\bigcup^{\infty}_{k=n}\{x||f(x)-f_{k}(x)|>0)$$ Entonces $L=\bigcap_{n=1}^{\infty} L_{n}$ . En particular, esto implica $\mu(L_{n})\ge\mu(L)>T>0$ para todos $n$ para algún número real $T$ .

Ahora tenemos $$L_{n}=(\bigcup^{\infty}_{i=1}(\bigcup^{\infty}_{k=n}\{x||f(x)-f_{k}(x)|\ge\frac{1}{i})$$ Según nuestra suposición, deberíamos tener $$\lim_{n\rightarrow \infty}\mu(\bigcup^{\infty}_{k=n}\{x||f(x)-f_{k}(x)|\ge \frac{1}{i}\})=0,\forall i\in \mathbb{N}$$

Por lo tanto, en particular para cualquier $\epsilon<\frac{T}{20}$ hay una secuencia $N_{j}\rightarrow \infty$ tal que $$\mu(\bigcup^{\infty}_{k=N_{j}}\{x||f(x)-f_{k}(x)|\ge \frac{1}{i}\})<\frac{\epsilon}{i^{2}2^{j}}$$ Entonces $$\mu(L_{N_{1}})< \sum^{\infty}_{i=1}\sum^{\infty}_{j=1}\frac{\epsilon}{i^{2}2^{j}}=\frac{\pi^{2}\epsilon}{6}<\frac{\pi^{2}}{120}T<T$$ Esto se contradice con nuestra conclusión $\mu(L_{n})>T$ arriba. Por lo tanto, $f_{n}\rightarrow f$ casi en todas partes.

Answer 1

Su tercera ecuación mostrada no es cierta. $(f_n)$ converge a $f$ en medida si para cada $\epsilon>0$ tenemos $$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\mu\bigl(\{x:|f(x)-f_n(x)|\ge\epsilon\}\bigr)=0.$$

Esto no implica que $$\lim\limits_{n\rightarrow\infty} \mu\Bigl(\bigcup\limits_{n=k}^\infty\{x:|f(x)-f_n(x)|\ge\epsilon\}\Bigr)=0.$$

Los conjuntos sobre los que el $f_n$ están lejos de $f$ puede ser diferente. Por ejemplo, consideremos la secuencia de funciones sobre el intervalo unitario: $$\chi_{[0,1]}, \chi_{[0,1/2]}, \chi_{[1/2,1]}, \chi_{[0,1/4]}, \chi_{[1/4,1/2]}, \dots$$ Esta secuencia converge en medida a la función cero; pero, aquí tenemos $\mu\Bigl(\bigcup\limits_{n=k}^\infty\{x:|f_n(x) |\ge\epsilon\}\Bigr)=1$ para cualquier $0<\epsilon\le 1$ .