¿Existen las teorías de conjuntos no extensionales?

Question

Siempre he asumido que la extensionalidad es un ejemplo paradigmático de una propiedad de los objetos matemáticos (conjuntos) que es esencial para esos objetos--- si tu teoría de conjuntos no obedece a la extensionalidad, no es set teoría.

Sin embargo, dada la existencia de teorías de conjuntos alternativas, como las teorías de conjuntos no bien fundadas, se me ocurrió que tal vez no debería estar tan seguro de esto.

Lo que me lleva a mi pregunta: ¿se ha desarrollado alguna teoría de conjuntos que no incluya el axioma de extensionalidad, o al menos que incluya objetos tipo conjunto que no sean extensionales?

Esta pregunta está ciertamente relacionado con el mío, pero no considera las teorías que se han desarrollado, sólo las formas en que la extensionalidad podría fallar manipulando los modelos de ZFC.

Answer 1

Varias clases de teorías de tipos son intensionales por naturaleza, y en esas teorías uno puede normalmente llevar a cabo las construcciones de la teoría de conjuntos típica, y por lo tanto tratar con conjuntos de una manera intensional.

Te sugiero que mires el libro Matemáticas Intensionales que forma parte de la serie Estudios de Lógica y Fundamentos de las Matemáticas publicado por Elsevier. En ella, encontrará dos artículos, uno de J. Myhill llamado Teoría de conjuntos intensionales y uno de N. D. Goodman llamado Una teoría de conjuntos genuinamente intensional (que es una especie de continuación del artículo de Myhill). Desarrollan teorías de conjuntos modales intensionales, y Goodman también da una interpretación de ZFC en ZFM (que es su propuesta de un Zermelo-Fraenkel modal).