Probar en la $\text{ZFC}$ que si hay algún ordinal $\alpha$$V_\alpha \models \text{ZFC}$, $\text{cf}(\beta)=\omega$ donde $\beta$ es igual a la menos $\alpha$.
Aquí es lo que se me ocurrió.
Supongamos que $\text {cf}(\beta)>\omega$. A continuación,$|V_{\beta}|> \aleph_0$.
Aplicar el Lowenheim-Skolem teorema (L-S) para obtener una primaria subestructura $E_0 \preceq V_{\beta}$ donde $|E_0|=|V_{\omega}|$. Entonces hay algunos menos $b_0 < \beta$ tal que $E_0\subset V_{b_0}$.
Aplicar L-S de nuevo para obtener $V_{b_0}\subset E_1 \preceq V_{\beta}$ donde $|E_1|=|V_{b_0}|<|V_{\beta}|$. Podemos encontrar algunos menos $b_1<\beta$ tal que $V_{b_1}\supset E_1$. Continuar como este, nos dan $E_0\subconjunto V_{b_0}\subconjunto E_1 \subconjunto V_{b_1}\subconjunto E_2 \subconjunto \cdots $, with $E_i\preceq V_{\beta}$ for each $i\in \mathbb N$. Then $\bigcup_n E_n = \bigcup_n V_{b_n} = V_{\sup\{b_n\}}$. Como $E_i \models \text{ZFC}$ por cada $i$, se deduce que $V_{\sup\{b_n\}} \models \text{ZFC}$.
El problema es que no estoy seguro de cómo justificar que en cada punto de la cadena (después de la primera), podemos encontrar una $V_{b_i}$ que contiene $E_i$. Creo que es verdad pero no estoy seguro y no puede dar un riguroso argumento. Agradecería cualquier ayuda.
