Resolver

Question

La cuestión es encontrar todas las soluciones reales de la ecuación:

$$(2^x+3^x+5^x)^3=160^x$$

Utilizando Wolfram, puedo comprobar que $x=3$ es la única solución, pero estoy teniendo problemas tratando de encontrar a mano.

Primera idea fue tratar de usar desigualdad de AM-GM. Algunos algebric manipulación también funcionaba.

¿Alguna idea?

Answer 1

La ecuación puede escribirse como

$$ \left(\frac{2}{160^{1/3}}\right) ^ x + \left (\frac {3} {160 ^ {1/3}} \right) ^ x + \left (\frac {5} {160 ^ {1/3}} \right) ^ x = 1$ $

El lado izquierdo es una función decreciente de $x$, desde %#% $ #%

Answer 2

La $f(x)=0$, donde $$f(x)=\left(\frac{2}{\sqrt[3]{160}}\right)^x+\left(\frac{3}{\sqrt[3]{160}}\right)^x+\left(\frac{5}{\sqrt[3]{160}}\right)^x-1.$ $ $f$ es una función decreciente y el resto para usted.