Supongamos que $f: X \rightarrow Y$ y es uno a uno y los dejan probar de $A \subseteq X$, que $f^{-1}[f[A]] = A$.

Question

Supongamos $f: X \rightarrow Y$, y es uno-a-uno, y deje $A \subseteq X$, demuestran que, a $f^{-1}[f[A]] = A$.

EDIT: en Realidad, esta identidad debe mantener incluso si $f$ no es uno a uno (inyectiva), derecho?

Esto es completamente intuitivo y lógico, pero no puedo pensar en una prueba de la estrategia a utilizar para demostrarlo? Estoy familiarizado con la inducción y el elemento persiguiendo, pero no parece funcionar aquí.

Aquí es el comienzo de mi elemento persiguiendo la prueba para demostrar que el $f^{-1}[f[A]] \subseteq A$.

Empezar con el arbitrario: $a \in f^{-1}[f[A]]$ \

Aplicar la definición de la preimagen: $a \in \{x \in X | f(x) \in f[A] \}$ \

Simplificar y convertir a la expresión booleana: $a \in X \land f(a) \in f[A]$ \

Aplicar la definición de la imagen: $a \in X \land f(a) \in \{y \in Y | y = f(x), x \in A \}$ \

Estoy atascado aquí...

Answer 1

"Aplicar la definición de la imagen: $a \in X \land f(a) \in \{y \in Y \mid y = f(x), x \in A \}$".

El conjunto debe ser escrito como $\{y\in Y\colon \exists x\in A(y=f(x))\}$, como has escrito, no tiene sentido.

Usted desea a la conclusión de que la $a\in A$.

Considere la posibilidad de $f(a)$. Uno ha $f(a)\in \{y\in Y\colon \exists x\in A(y=f(x))\}=\{f(x)\colon x\in A\}$, de modo que existe $x\in A$ tal que $f(x)=f(a)$.

"En realidad, esta identidad debe mantener incluso si $f$ no es uno a uno (inyectiva), derecho?"

Puede ahora responder a su propia pregunta?

El otro inclusión sostiene universal (es decir, no requiere de $f$'s de inyectividad).

Answer 2

Si $f$ no es inyectiva, no es cierto.
Ejemplo: $X={0,1},Y={0},A={0}$ y $f=$ la única posibilidad; entonces $f^{-1}(f(A))=X$.

En el caso general, el único que puede decir es $f^{-1}(f(A))\supseteq A$: $f^{-1}(f(A))={x\in X \mid f(x)\in f(A)}$ y esto claramente contiene $A$.

Asumir $f$ es inyectiva.
Tomar $x\in f^{-1}(f(A))$; por definición, $f(x)\in f(A)$, por lo tanto debe existir un $a\in A$ tal que $f(x)=f(a)$; inyectabilidad $x=a\in A$ y obtener la inclusión inversa.