Subgrupos abelianos normales de grupos A

Question

Dejemos que $G$ sea un grupo finito soluble, donde cada subgrupo Sylow es abeliano. Quiero demostrar que si $A\lhd G$ es un subgrupo normal abeliano, entonces $$A=(A\cap Z(G))(A\cap G')$$

Esto es fácil si $A$ es un subgrupo normal mínimo, por lo que he tratado de inducir en el $G$ -longitud de composición de $A$ . Así que si $L<A$ es un subgrupo normal de $G$ , máxima en el sentido de que no hay subgrupos normales de $G$ estrictamente entre $L$ y $A$ Quiero mostrar $A\le LZ(G)$ o $A\le LG'$ .

Si existe $a\in A$ y $g\in G$ con $[g,a]\not\in L$ entonces $$A= L(A\cap G')= A\cap LG'$$ así que ese caso está hecho.

El otro caso es cuando $[G,A]\le L$ . Ahora necesito encontrar un $a\in A\setminus L$ que es central. Pero no tengo ni idea de cómo hacerlo.

Answer 1

Desde $A$ es el producto directo de sus subgrupos Sylow, cada uno de los cuales es normal en $G$ podemos suponer que $A$ es un $p$ -para algún primo $p$ .

Desde $G$ tiene subgrupos Sylow abelianos, el grupo $C \cong G/C_G(A)$ de automorfismos de $A$ que es inducido por la conjugación por $G$ es un a $p'$ -grupo, y basta con demostrar que existe un $a \in A \setminus L$ que es central en el producto semidirecto $A \rtimes C$ .

Dejemos que $b \in A \setminus L$ . Entonces, como $[G,A] = [C,A] \le L$ tenemos $C^b \le CL$ . Desde $C$ es un $p'$ -podemos aplicar el teorema de Schur-Zassenhaus para deducir que $C$ y $C^b$ son conjugados en $CL$ y, por tanto, por un elemento $l \in L$ . Así que $bl^{-1} \in A \cap N_G(C) \le C_G(C)$ y así $a = bl^{-1}$ es central.