Desde SOA muestra de 138:
Una máquina que consta de dos componentes, cuyas vidas tienen la función de densidad conjunta
$$f(x,y)= \begin{cases} {1\over50}, & \text{for }x>0,y>0,x+y<10 \\ 0, & \text{otherwise} \end{casos}$$
La máquina funciona hasta que ambos componentes falla. Calcular la espera el tiempo de funcionamiento de la máquina.
Sé que hay una manera más sencilla de resolver esto, pero me gustaría resolver utilizando estadísticas de orden. Esto es lo que tengo hasta ahora:
Si estoy entendiendo bien, necesito encontrar la probabilidad de $P(max(X,Y) \le k)=P(X \le k)P(Y \le k)$, y luego se diferencian para encontrar la densidad de $k$, y a partir de ahí encontrar el valor esperado de $k$.
Así que primero voy a encontrar la densidad marginal de $X$ e $Y$:
$$f(x) = \int_0^{10-x}{1\over50}dy$$ $$f(x) = {{10-x}\over50} $$
A continuación, $P(X \le k)$ es
$$P(X \le k) = \int_0^{k}{{10-x}\over50}dx $$ $$ = \left({10x\over50}-{x^2\over100}\right)\bigg|_0^k$$ $$ = \left({10k\over50}-{k^2\over100}\right)$$
Puedo hacer la misma cosa para $y$, lo $P(X \le k)P(Y \le k)$ es
$$\left({10k\over50}-{k^2\over100}\right)^2$$
$$={100k^2\over2500}-{20k^3\over5000}+{k^4\over10000}$$
Ahora voy a tomar la derivada para obtener $f(k)$
$${200k\over2500}-{60k^2\over5000}+{4k^3\over10000}$$
Y ahora puedo integrar el límite de $k$ conseguir $E(K)$
$$E(K)=\int_0^{10} k\left({200k\over2500}-{60k^2\over5000}+{4k^3\over10000}\right)dk$$
$$=\int_0^{10} {200k^2\over2500}-{60k^3\over5000}+{4k^4\over10000}dk$$
$$=\left( {200k^3\over7500}-{60k^4\over20000}+{4k^5\over50000}\right)\bigg|_0^{10}$$
$$=4.666$$
Sin embargo, la verdadera solución es $5$, ¿de dónde me salen mal?
