Cálculo de$\operatorname{Tor}_*^{R}(\mathbb{Z},\mathbb{Z})$ para$R=\mathbb Z[C_n]$.

Question

Me gustaría calcular $\operatorname{Tor}_k^{R}(\mathbb{Z},\mathbb{Z})$, donde $R = \mathbb{Z}[x]/(x^n -1)=\mathbb Z[X]$.

Creo que estoy cerca de hacerlo, pero no puedo averiguar el último paso. Empecé a buscar una resolución libre de $\mathbb{Z}$ como $R$-módulo, y se encontró que

$$\cdots\longrightarrow R \longrightarrow R \longrightarrow \mathbb{Z} \longrightarrow 0$$

donde $d_0: R\longrightarrow \mathbb{Z}: f(X) \mapsto f(1)$, y para $i\geqslant 1$, $d_{2i-1}: R\longrightarrow R$ es la multiplicación por $X-1$ e $d_{2i}: R\longrightarrow R$ por $1+X+\cdots+X^{n-1}$

De esta manera tengo una resolución libre de $\mathbb{Z}$ como $R$-módulo. Ahora puedo aplicar el functor $ * \otimes \mathbb{Z}$ a la libre resolución (proyectiva):

$$C^*:\cdots \longrightarrow R \otimes \mathbb{Z} \longrightarrow R \otimes \mathbb{Z} \longrightarrow 0$$

donde las funciones definidas por encima de hacer lo mismo en el primer componente y aplicar identidad en el segundo componente. Ahora sé que hay un isomorfismo entre $R \otimes N$ e $N$ si $N$ es $R$-módulo. A continuación, me gustaría obtener algo como

$$\cdots \longrightarrow \mathbb{Z} \longrightarrow \mathbb{Z} \longrightarrow 0$$

que es posible que se ve más fácil encontrar la $n$-th cohomology objeto de la cochain complejo. Pero no sé cómo encontrar a $\ker(d_n\otimes 1)$ ni $\operatorname{im}(d_n\otimes 1)$.

Answer 1

Tenga en cuenta que el isomorfismo $R\otimes_R \mathbb Z\to \mathbb Z $ es inducida desde la izquierda de la acción, por lo que envía a $r\otimes n\to rn$. Si $r$ es un polinomio, entonces la acción está dada por la evaluación a $1$, es decir, $rn = r(1)n$. En virtud de este mapa, la multiplicación por $x-1$ va al cero mapa de $0:\mathbb Z\to\mathbb Z$, mientras que la multiplicación por $1+\cdots+x^{n-1}$ va a la multiplicación por $n:\mathbb Z\to\mathbb Z$. Puede usted continuar?