A los jugadores de$n$ se les reparten dos cartas, ¿cuál es la probabilidad de que$k$ de ellos tenga un par?

Question

Cada una de las $n\leq26$ jugadores se reparten $2$ tarjetas de un estándar $52$-cubierta de póker de tarjeta. ¿Qué es $\textrm{P}\left(n,k\right)$, la probabilidad de que exactamente $k$ de la $n$ de los jugadores tienen un par?

(Un par en la mano es como $8 \clubsuit, 8 \heartsuit$ o $K \clubsuit, K \diamondsuit$.)

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Esta pregunta fue previamente se ha pedido que en el Poker.SÍ, sin una respuesta satisfactoria: https://poker.stackexchange.com/questions/4087/probability-of-x-pocket-pairs-at-a-table-of-n-people-nlhe

Answer 1

En primer lugar, permite calcular $f(m)$, el número de maneras de manejar los dos naipes a cada uno de $m$ de las personas que son de todos los pares. Podemos hacer esto usando un equipo de la siguiente manera. Si además vamos a $f(m,r)$ ser la probabilidad de que todos los $m$ de las personas tienen las parejas cuando las cartas de una baraja de $4r$ tarjetas, a continuación, $$ f(m,r) = r\binom42\big(f(m-1,r-1)+(m-1)f(m-2,r-1)\big) $$ El primer sumando representa caminos, donde el primer jugador coge un par que nadie más tiene, y el segundo cuentas por caminos por los que algún otro jugador también recibe ese par. La anterior ecuación recursiva permite calcular $f(m)=f(m,13)$ rápidamente a través de la programación dinámica.

A continuación, utilice la generalizada del principio de inclusión exclusión. Dejando $E_i$ ser el caso de que el $i^{th}$ jugador tiene un par, entonces \begin{align} P(n,k) &=\sum_{i=0}^n(-1)^{i-k}\binom{i}{k}\binom{n}{i}\mathbb P(E_1\cap E_2\cap \dots \cap E_i)\\ &=\sum_{i=0}^n(-1)^{i-k}\binom{i}{k}\binom{n}{i}\frac{f(i)}{\frac{52!}{2^i(52-2i)!}} \end{align}

Usted puede ver esto en acción aquí, simplemente haga clic en el botón ejecutar en la parte superior e introduzca el valor deseado de $n$.

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También, existe la siguiente "forma cerrada" para $P(n,k)$:

$$ \boxed{P(n,k) = \binom{n}{k}\sum_{i=k}^n(-1)^{i-k}\binom{n-k}{i-k}\frac{2^i(52-2i)!}{52!}\cdot i!\cdot [x^i](1+6x+3x^2)^{13}} $$ Aquí, la notación $[x^i]f(x)$ significa que el coeficiente de $x^i$ en el polinomio $f(x)$.

Answer 2

La probabilidad de que un determinado jugador se le reparte un par de es $\frac{4-1}{52-1}=\frac{1}{17}$ por lo que el número esperado de pares es $\frac{n}{17}$

Sospecho que la distribución no va a estar lejos de la Binomial con parámetros de $n$ e $p=\frac{1}{17}$. Esto no es del todo correcto (por ejemplo, cuando se $n=26$ la probabilidad de que exactamente $25$ pares es $0$ en lugar de $4.24\times 10^{−30}$), pero me sorprendería si fuera sustancialmente engañosa

Como ejemplo, aquí hay un par de simulaciones de $100000$ millones de ofertas a $6$ jugadores

Pairs                    0        1         2         3         4         5         6 
Simulation 1            69459    26065     4094      367       13         2         0
Simulation 2            69675    25918     4063      329       15         0         0
Binomial probability  0.695066 0.260650 0.040727 0.003394 0.000159 0.0000040 0.00000004

y, dada la incertidumbre de la simulación, estos no se ven notablemente diferentes. Los cinco pares de seis visto en el enlace en su era, de hecho, raro