Esta frase matemáticamente gramático, ya que el infinito no es un "número"?
No, pero no por las razones que usted piensa. ¿Qué es el infinito?
El infinito puede ser tomado como la cardinalidad de una "cantidad" de algo, de una manera muy, muy suelto de sentido. Matemáticamente, se puede ver en un conjunto, mira sus elementos, y decir que tiene una cardinalidad - un número cardinal, que mide cuántos elementos hay en el conjunto.
Por ejemplo, el conjunto de $\{1, 2, 3 \}$. Así, tenemos tres elementos. Por lo tanto, este conjunto tiene cardinalidad $3$.
¿Qué acerca de los números enteros, el conjunto de $\mathbb{Z}$? Bueno, obviamente, hay infinitamente muchos de ellos: si hay un número finito, habrá algún tipo de "menos" o "más" entero $n$, pero me podría dar los enteros $n-1$ o $n+1$ respectivamente. Por lo tanto, hay infinitamente muchos enteros.
Nos dejemos desviar por un momento y discutir lado la cardinalidad de los números reales, el conjunto de $\mathbb{R}$. Cuántos números reales hay? Bien, de nuevo, el mismo argumento podría mostrar que hay infinitamente muchos, pero nos topamos con un problema. Podemos demostrar que, en un extraño sentido, el infinito en este caso es mayor que la del ejemplo anterior de los números enteros.
Para tocar en este queremos formalizar esta noción de "infinito" y "la cardinalidad." En particular, queremos nota: si existe una función que es "bijective" entre dos conjuntos de $A$ e $B$, entonces los conjuntos tienen la misma cardinalidad. ¿Qué es un bijective función? Se trata de una función que es "inyectiva" y "surjective" - básicamente, si $f$ es nuestra función, a continuación, $f(x) = f(y)$ inmediatamente implican $x=y$, y para cada elemento de a$B$, hay un elemento correspondiente de $A$. Es decir, $f$ tiene las propiedades que desigual de las entradas a la desigualdad de las salidas, y cada salida (en $B$) tiene una entrada correspondiente (en $A$).
Usted también puede saber que bijective funciones son invertible, pero que está consiguiendo poco más allá de este ámbito.
Este concepto también se aplica para los conjuntos infinitos: por ejemplo, aquí es donde la noción de que hay tantos números naturales como hay números enteros o racionales: se puede establecer bijections de $\mathbb{N}$ a $\mathbb{Z}$ o $\mathbb{Q}$ (el conjunto de los racionales): así, el mismo infinito gobierna cada uno en términos de la cardinalidad.
¿Qué acerca de los reales, entonces? Como sucede, usted no puede encontrar un bijection de los enteros a los reales. Esto se muestra por Cantor de la diagonal argumento, una famosa prueba por contradicción. Supongamos que de alguna manera tienes una lista de todos los números reales: a continuación, esta lista es "contable", la cual también es cierto para los enteros. La etiqueta de cada número con un número entero, el establecimiento de un bijection. Pero, desde cada uno de esos números reales, se puede tomar un dígito, alterarlo, y luego concatenar todos ellos para obtener un número no está en la lista. Estoy totalmente simplificando la prueba de curso (puedes leer más aquí), pero esta es esencialmente la misma que la nuestra pseudoproof sobre infinitamente muchos enteros anteriores: suponiendo que hay "un número infinito de" enteros (en el sentido de nuestro ser infinito de los números enteros), podemos encontrar más. Esto es suficiente para establecer no existe surjective función de $f$ a partir de los enteros a los reales, y por lo tanto no bijection.
Bueno, por lo que el infinito de los reales es obviamente más grande que el infinito de los números enteros...
En este punto presentaremos a algunos de los nombres de $\aleph_0$ es el nombre que damos a la infinidad de los números enteros. Nos vamos a la cardinalidad de los reales acaba de ser conocido como el continuum $c$. Hemos establecido que hay dos "infinitos", uno que es más grande que el otro (en el sentido de que no hay surjection de conjuntos de cardinalidad $\aleph_0$ a los de cardinalidad $c$).
Bien, pero ¿qué diablos es el punto de este paseo?
Aviso de lo que empezamos a hacer. Hemos introducido la noción de "cardinalidad" como "la cantidad de algo", o más formalmente como el número de elementos de un conjunto. (Usted podría ir incluso más formal, pero esta diatriba podría perder más valor por hacerlo.) Luego presentamos la noción de "infinito cardenal" - de hecho, nos dimos dos, y demostrar que uno es más grande que el otro. Estos son los números cardinales en el sentido de que representan el número de elementos de sus respectivos conjuntos, y los infinitos en que sus conjuntos de hecho tiene un número infinito de elementos.
Incluso podríamos establecer más, más, más infinitos en este sentido.
Pero lo que es más importante - los infinitos son los números. Usted puede hacer operaciones matemáticas con ellos, compararlos. Quiero agregar dos infinito cardenales, $\alpha + \beta$? Bueno, esa es definido como el máximo de los dos cardenales, y hay riguroso razonamiento para que. Usted puede leer más sobre él en la Wikipedia.
El infinito es un número, y no representa una cantidad en su propio derecho, debido a que estos infinitos como se ha construido aquí están los números cardinales. En el mejor de los casos, no se puede decir que el infinito es un "verdadero" número", en el sentido de los números reales: números reales no son necesariamente los cardenales. Es un número diferente de sistema, esencialmente.
Por tanto, decir "infinitamente muchos" no es gramaticalmente incorrecto.
...Pero es ambigua.
Esta diatriba no tiene un segundo punto, que es principalmente debido a que se trata de un punto cercano a la casa, ya que decir "infinitamente muchos," por su propia cuenta, no implica que la infinidad hablamos de. Podríamos hablar de conjuntos de cardinalidad infinita: ¿nos referimos a aquellos con cardinalidad $\aleph_0$ o mayor cardenal? Este golpea cerca de casa porque esta misma ambigüedad se vino arriba en la realización de una tarea para mí una vez.
En ese caso, que fue impartida a mí que "infinidad" puede representar cualquier número cardinal $\kappa$ tal que $\kappa \geq \aleph_0$, es decir, infinito, al menos, tan grande como la que empató con el número de enteros que hay.
Entonces, en un sentido, es matemáticamente ambigua y más idiomática de decir "infinitamente muchos", como un comentarista señaló. En ciertos contextos matemáticos, queremos ser específicos en cuanto a cual de los infinitos cardenales que estamos trabajando. A veces no necesitamos ser y diciendo: "infinidad" está bien. Pero que toca el punto de que, matemáticamente, el lenguaje debe ser preciso en el tiempo para evitar imprecisiones o ambigüedades como eso.
Tal vez sólo un gramaticales y menos matemáticos punto de vista?
Creo que puede ser fructífera que, después de todo esto, también podemos hablar de las implicaciones gramaticales y de intuiciones a jugar con "infinitamente muchos". ... Tal vez incluso podría ser más ilustrativo. >_>
Con suerte, se puede tomar como dado que no hay ningún problema con "un número finito." En ese sentido, considerar: ¿cuál sería el contrario "finito"? Que es finito es enfinito ilimitado, sin límite.
En ese sentido, no estamos aún teniendo en cuenta los números. Simplemente estamos diciendo que hay un número ilimitado de algo de lo que no es "infinitamente muchos". Por supuesto, que el infinito es todavía una ambigüedad, pero esto nos lleva lejos de la noción de si el infinito es un número, en la que sólo hay "no" finita cantidad.
