Un espacio es Hausdorff iff...

Question

He aquí un ejercicio de Marco Manetti "Topologia" libro (ex. 3.59 en la versión en italiano) que estoy atascado en:

Probar que un espacio topológico $X$ es $\mathrm{T2}\iff\{x\}=\bigcap\limits_{U\in\,\mathcal{I}(x)}\kern{-7pt}\overline{U}\;\;\;\forall x\in X$

Parcial de la prueba: $(\Rightarrow)$ Deje $x\in X$, supongamos que $y\in X$ e $x\neq y$. Tienen distintos barrios debido a que $X$ es $\mathrm{T2}$. Por lo $\exists A,B\subset X$ abierto y discontinuo, de tal manera que $x\in A$ e $y\in B$, y tal y como está desunido $A\subset B^{\kern{1pt}\mathrm{c}}$ e $B^{\kern{1pt}\mathrm{c}}$ es un barrio cerrado de $x$, la elección de un $B_y$ por cada $y\neq x$ los rendimientos de una familia de cerrados los barrios de $x$, y $\bigcap\limits_{y\neq x}\kern{-3pt}\overline{B^{\kern{1pt}\mathrm{c}}_y}=\bigcap\limits_{y\neq x}\kern{-3pt}B^{\kern{1pt}\mathrm{c}}_y=\{x\}$.

$(\Leftarrow)$ Mi idea inicial era demostrar que si en un espacio de $X$ con la propiedad en el derecho suponemos que, dado un par de puntos de $x,y\in X$ no tienen $A\in\mathcal{I}(x),B\in\mathcal{I}(y)$ abierto y discontinuo tenemos una contradicción, pero todas mis ideas parecían ineficaces, ¿cómo debo proceder?

Answer 1

Supongamos que $X$ es $T_2$. Si $x,y\in X$hay $U\in\mathcal{I}(x)$ e $V\in\mathcal{I}(Y)$ tal que $U\cap V=\emptyset$. Deje $O$ ser un conjunto abierto tal que $y\in O$ e $O\subset V$. A continuación, $O^\complement$ es un conjunto cerrado que contiene a$U$. Por lo tanto, $\overline U\subset O^\complement$ y, por tanto, $y\notin\overline U$. Sinse esto ocurre para cada $y\in X$, $\bigcap_{U\in\mathcal{I}(x)}\overline{U}=\{x\}$.

Ahora, supongamos que el $X$ es no $T_2$. Tome $x,y\in X$ tal que, para cualquier $U\in\mathcal{I}(x)$ y cualquier $V\in\mathcal{I}(y)$, $U\cap V\neq\emptyset$. No es difícil demostrar que $y\in\bigcap_{U\in\mathcal{I}(x)}\overline{U}$.

Answer 2

Inicio de la prueba con "let $x,y\in X$" no es el camino correcto.

Supongamos $X$ es Hausdorff y deje $x\in X$. Supongamos $y\in X$ e $y\ne x$. Entonces no existir $U\in\mathcal{I}(x)$ e $V\in\mathcal{I}(y)$ con $U\cap V=\emptyset$; en particular, $y\notin\bar{U}$. Por lo tanto $y\notin\bigcap_{U\in\mathcal{I}(x)}\bar{U}$.

Supongamos $X$ no es Hausdorff y deje $x,y\in X$, $x\ne y$, de tal manera que $U\cap V\ne\emptyset$, para cada $U\in\mathcal{I}(x)$ e $V\in\mathcal{I}(y)$. En particular, $y\in\bar{U}$, para cada $U\in\mathcal{I}(x)$.