¿Por qué la definición de una categoría no requiere una noción explícita de igualdad de morfismos?

Question

Estoy aprendiendo los fundamentos de la teoría de las categorías (TC).

Entiendo que la TC es un marco moderno y poderoso para describir varias ramas de las matemáticas de forma unificada.

Admito que la definición de la categoría dice un montón sobre el conjunto y se centra en las propiedades más importantes, ensombreciendo los detalles innecesarios. Sin embargo, cuanto más avanzo, más parece que debería explícitamente requieren una noción de morfismos igualdad (como ocurre con la composición de morfismos). Se siente así porque la igualdad o desigualdad de morfismos surge en todas partes, desde el principio: cualquier diagrama conmutativo se reduce finalmente a una igualdad de dos caminos diferentes y muchas otras cosas implican también la igualdad. Incluso la composición se define a partir de una igualdad (implícita).

Intentaré dar un ejemplo de mi preocupación. Considere $\mathbb{SET}$ . Sus objetos son conjuntos y los morfismos son funciones. Ahora, recordemos que las funciones también son conjuntos - para ser más precisos, una función $f : A \mapsto B$ es un subconjunto de a $A \times B$ obedeciendo a ciertas propiedades, que omito. Así, se podría argumentar que $f$ es a la vez un morfismo entre objetos $A, B \in Obj(\mathbb{SET})$ y un objeto definido como un conjunto de pares $\{ (a_1 \in A, b_1 \in B), ..., (a_n \in A, b_n \in B) \}$ y esos son iguales porque ambas cosas son, en esencia, exactamente lo mismo.

Espero que mi preocupación sea clara y necesito algún tipo de "visión conceptual" de personas con conocimientos para avanzar. Por favor, denme la perspectiva adecuada.

Answer 1

La igualdad de morfismo se considera efectivamente primitiva, pero a un nivel "aún más primitivo" que la composición.

Recuerde - ignorando las cuestiones de conjunto/clase por el momento - que la composición consiste en un función parcial asignando a un par de morfismos (sobre los que se define) un tercer morfismo, que llamamos su composición . Así pues, la igualdad entre morfismos está integrada en la propia naturaleza de los conjuntos (en este caso, los conjuntos de morfismos).

Si está familiarizado con la teoría de los modelos, la igualdad es parte de la lenguaje lógico - en el mismo nivel que los cuantificadores y las conectivas booleanas, mientras que la composición de morfismos formaría parte del firma (o idioma o vocabulario o ...), de forma similar al símbolo de la operación de grupo en el contexto de los grupos.

Sin embargo, tu penúltimo párrafo es más especial. El fenómeno que describes ahí es en realidad algo que la teoría de la categoría explícitamente no lo hace a la que queremos prestar atención, al menos la mayor parte del tiempo, ya que uno de los grandes puntos es que podemos olvidarnos de lo que son los objetos y sólo mirar cómo se comportan los morfismos. Ciertamente, no hay relación objeto/morfismo en las categorías generales; por ejemplo, pensemos en un grupo visto como una categoría de un objeto.

Answer 2

La teoría de categorías se formula habitualmente en el marco de la teoría axiomática de conjuntos, al igual que el resto de las matemáticas. La teoría axiomática de conjuntos incluye la igualdad como noción primitiva. Por lo tanto, no es necesario especificar por separado la igualdad como parte de una categoría, ya se sabe lo que significa la igualdad a partir de los fundamentos de las matemáticas. No hay nada especial en la teoría de categorías a este respecto; es igual que cuando se define un grupo, no hay que especificar lo que significa que dos elementos del grupo sean iguales, por ejemplo.

Sí, la noción subyacente de igualdad puede incluir igualdades que no quieres, como que un morfismo sea igual a un objeto. Pero esto no es en realidad un problema: nunca se hablará de que los morfismos sean iguales a los objetos, por lo que no interesa que lo sean. Nótese, en particular, que un isomorfismo entre categorías no necesita preservar tales igualdades.

(Dicho esto, hay cierto interés en fundamentos alternativos de las matemáticas que están más fuertemente "tipificados", de modo que no se puede hablar de igualdades de cosas que no deberían "tener sentido". Véase, por ejemplo https://ncatlab.org/nlab/show/structural+set+theory . De nuevo, sin embargo, esto no es en absoluto específico de la teoría de las categorías, ni es en absoluto lógicamente necesario para el desarrollo de las matemáticas).

Answer 3

Como dicen las otras respuestas, para los fundamentos típicos de la teoría de conjuntos, siempre se dispone de una noción global de igualdad. Por tanto, no es necesario proporcionar explícitamente una noción de igualdad, y siempre es posible preguntar si dos objetos matemáticos (es decir, conjuntos) son iguales. Las funciones, es decir, las flechas de $\mathbf{Set}$ son conjuntos y, por tanto, también son objetos de $\mathbf{Set}$ . La función qua un objeto no es "esencialmente igual" a la función qua una flecha. Ellos son exactamente lo mismo, no hay "esencialmente" en ello. 1

Sin embargo, esto no es deseable para la teoría de categorías. Lo ideal sería utilizar un marco lógico en el que el principio de equivalencia se mantiene. El principio de equivalencia establece que todo lo que se enuncia debe ser invariable por isomorfismo. Makkai desarrolló FOLDS explícitamente para proporcionar ese marco lógico. La FOL dependiente (DFOL), ligeramente más utilizable, también cumple este objetivo. Esto también se logra típicamente mediante formalizaciones en teorías de tipos dependientes como el Cálculo de Construcciones (Inductivas). Como ilustro en esta respuesta formalizando la noción de categoría en DFOL sería proporcionan explícitamente una (familia de) noción(es) de igualdad para el morfismo. (Y, en particular, no proporcionan una noción de igualdad para los objetos).

Dentro de los fundamentos tradicionales de la teoría de conjuntos, si se quisiera ser más explícito sobre las nociones de igualdad, se podría trabajar en un setoid - enriquecido versión de la teoría de las categorías. Usted proporcionaría una (familia de) setoide(s) de flechas 2 Esto requeriría que la composición respetara la estructura setoide de sus entradas. Esto afectaría a la definición de cosas como los funtores.

1 Técnicamente, probablemente añadiríamos el codominio (al menos) a la noción de flecha para $\mathbf{Set}$ ya que en los fundamentos de la teoría de conjuntos los hom-sets suelen definirse como disjuntos. Sin embargo, la flecha resultante sigue siendo un conjunto, así que eso no cambia la historia.

2 De hecho, un modelo (teórico de conjuntos) de la teoría DFOL que esbozo en la otra respuesta tendría que ser una familia de setoides.

Answer 4

Formalmente , igualdad de morfismos parece ser un primitivo, indefinido noción; es decir, no media cualquier cosa (lo que sea media significa).

Intuitivamente Yo lo veo como una forma de " chocar las flechas " en un " mundo abstracto " que " vive arriba teoría de categorías". Así, cuando alguien dice " el diagrama conmuta ", imagino las (digamos) dos trayectorias de desplazamiento como un camino único en un " meta-diagrama " que vive en el " metateoría "de la teoría de categorías.