Un segmento de recta con una longitud de 24 hace un ángulo de 90 grados con una de las patas de un trapezoide isósceles. ¿Cuál es el área de este trapecio?

Question

Dado que $ABCD$ es un trapecio isósceles y que $|EB|=24$, $|EC|=26$, y m(EBC)=$90^o$. Encontrar $A(ABCD)= ?$

Desde el teorema de pitágoras, que puedo encontrar que $|BC|=|AD|=10$. Entonces, no puedo encontrar el área del triángulo $EBC$. Pero después de este punto, no puede progresar más. ¿Cómo puedo encontrar el área de este trapecio?

Answer 1

Opción 1. Considerar el trapecio isósceles con $BE=BD$ diagonal:

$\hspace{3cm}$

Podemos encontrar: $$BF=\frac{2S_{\Delta BCD}}{CD}=\frac{240}{26}=\frac{120}{13};\\ CF=\sqrt{BC^2-BF^2}=\sqrt{100-\frac{120^2}{13^2}}=\frac{50}{13};\\ S_{ABCD}=\frac{AB+CD}{2}\cdot BF=\frac{(26-2\cdot CF)+26}{2}\cdot \frac{120}{13}=\\ =\frac{34560}{169}\approx \color{red}{204.5}.\\ $$

Opción 2. Considerar el punto de $E$ como un punto medio:

$\hspace{3cm}$

Podemos encontrar: $$EH=\sqrt{SER^2+BH^2}=\sqrt{24^2+5^2}=\sqrt{601};\\ BI=\frac{2S_{\Delta BEH}}{EH}=\frac{2\cdot 60}{\sqrt{601}};\\ S_{ABCD}=EH\cdot BF=\sqrt{601}\cdot \frac{4\cdot 60}{\sqrt{601}}=\color{red}{240}.$$

Conclusión: El trapecio no es única.

Answer 2

Como un ejemplo concreto de cómo la figura no está determinado:

• Una opción es que los $A$ e $E$ coinciden, y $ABCD$ es un rectángulo de área $24\cdot 10=240$.

• Otra opción es que $E$ e $D$ coinciden, en cuyo caso el área del trapecio es $\frac{10\cdot 24}{26}(26-\frac{10\cdot 10}{26}) \approx 204$.

Answer 3

El triángulo $BCE$ está determinado únicamente, pero otros puntos $D$ y $A$ no lo están, por lo que este trapecio no tiene un área fija, depende de $A$ (y luego es $D$ determinado también).