¿Factorización de ideales primos únicos en dominios noetherianos?

Question

[He cambiado el título y el cuerpo de la pregunta. A continuación explico por qué lo he hecho y pego la versión anterior].

Sea (UPIF) (por "Unique Prime Ideal Factorization") la siguiente condición en un dominio noetheriano $A$ :

Si $\mathfrak p_1,\dots,\mathfrak p_k$ son ideales primos distintos y no nulos de $A$ y si $m$ y $n$ son elementos distintos de $\mathbb N^k$ entonces tenemos $$\mathfrak p_1^{m_1}\cdots\mathfrak p_k^{m_k}\ne\mathfrak p_1^{n_1}\cdots\mathfrak p_k^{n_k}.$$

La cuestión principal es

¿Satisfacen todos los dominios noeterianos (UPIF)?

Por supuesto que los dominios Dedekind satisfacen (UPIF), pero otros dominios noetherianos $A$ también lo hacen. De hecho, como señala el usuario26857, si cada ideal primo no nulo de $A$ es invertible o maximal, entonces $A$ satisface (UPIF). Para ver esto, supongamos por contradicción $$ \mathfrak p_1^{m_1}\cdots\mathfrak p_k^{m_k}=\mathfrak p_1^{n_1}\cdots\mathfrak p_k^{n_k}.$$ También podemos suponer que todos los $\mathfrak p_i$ son máximos, y que $m_1>n_1$ . Entonces $\mathfrak p_1^{m_1}$ contiene $\mathfrak p_1^{n_1}\cdots\mathfrak p_k^{n_k}$ pero no contiene $\mathfrak p_1^{n_1}$ . Como $\mathfrak p_1^{m_1}$ es primario, esto implica que el radical $\mathfrak p_1$ de $\mathfrak p_1^{m_1}$ contiene $\mathfrak p_2^{n_2}\cdots\mathfrak p_k^{n_k}$ y por lo tanto $\mathfrak p_1$ contiene uno de los otros $\mathfrak p_i$ contradicción. En particular, los dominios noetherianos unidimensionales y los dominios de la forma $B[X]$ , $B$ dominio ideal principal, $X$ un indeterminado, satisfacer (UPIF).

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Estas son las razones por las que he cambiado el título y el cuerpo de la pregunta (y he añadido la etiqueta "noetheriano"): el usuario26857 respondió a la pregunta original en un comentario, pero no quiso convertir su comentario en una respuesta. De haberlo hecho, habría aceptado la respuesta y formulado una pregunta de seguimiento, pero pensé que sería mejor, dadas las circunstancias, evitar crear una nueva pregunta.

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Aquí está la versión anterior de la pregunta:

Título anterior: ¿Factorización de ideales primos no idempotentes únicos en dominios?

Pregunta anterior:

Dejemos que $A$ sea un dominio; sea $\mathfrak p_1,\dots,\mathfrak p_k$ sean distintos ideales primos no idempotentes de $A$ ; y dejar que $m$ y $n$ sean elementos de $\mathbb N^k$ tal que $$\mathfrak p_1^{m_1}\cdots\mathfrak p_k^{m_k}=\mathfrak p_1^{n_1}\cdots\mathfrak p_k^{n_k}.$$ ¿Se deduce que $m=n\ ?$

[Recordemos que un dominio es un anillo conmutativo con uno en el que $0\ne1$ y $a\ne0\ne b$ implica $ab\ne0$ .]

Sospecho que la respuesta es No, pero no he podido encontrar un contraejemplo.

Editar

(1) Si $A$ es un dominio noetheriano, entonces $(0)$ es el único ideal primo idempotente de $A$ .

(2) Digamos que un dominio satisface la condición (D) (de "Dedekind") si el monoide multiplicativo generado por los ideales primos no idempotentes es libre (sobre la base obvia).

Entonces la pregunta anterior se puede plantear como: "¿todos los dominios satisfacen (D)?"

Por supuesto que los dominios Dedekind satisfacen (D), pero no conozco ningún dominio no Dedekind que satisfaga (D). (Y, como se indica, no conozco ningún dominio no que satisface (D).) Por ejemplo, me gustaría saber si $K[X,Y]$ satisface (D). (Aquí $K$ es un campo y $X$ y $Y$ son indeterminados).

Answer 1

Como el usuario26857 ha respondido a la pregunta en un comentario, y prefiere no publicarlo como respuesta, intentaré escribir la respuesta yo mismo. Creo haber entendido el argumento de user26857, pero puedo estar equivocado. Así que, en las líneas de abajo, todo lo que es cierto se debe a user26857, y todo lo que es falso se debe a mí.

La respuesta es sí.

Más concretamente:

Si $A$ es un dominio integral noetheriano, si $\mathfrak p_1,\dots,\mathfrak p_k$ son ideales primos distintos y no nulos de $A$ y si $m$ y $n$ son elementos distintos de $\mathbb N^k$ entonces tenemos $$\mathfrak p_1^{m_1}\cdots\mathfrak p_k^{m_k}\ne\mathfrak p_1^{n_1}\cdots\mathfrak p_k^{n_k}.$$

Prueba. En el marco de la pregunta, supongamos por contradicción que tenemos $$ \mathfrak p_1^{m_1}\cdots\mathfrak p_k^{m_k}=\mathfrak p_1^{n_1}\cdots\mathfrak p_k^{n_k} $$ con $m\ne n$ .

Enumerar los $\mathfrak p_i$ de tal manera que cada $\mathfrak p_i$ es un elemento mínimo del conjunto $\{\mathfrak p_i,\dots,\mathfrak p_k\}$ y escribir $\mathfrak p_{ij}$ para la localización de $\mathfrak p_i$ en $\mathfrak p_j$ .

Para todos $i$ obtenemos $$ (\mathfrak p_{1i})^{m_1}\cdots(\mathfrak p_{ii})^{m_i}=(\mathfrak p_{1i})^{n_1}\cdots(\mathfrak p_{ii})^{n_i}.\quad(1) $$ Obsérvese la siguiente consecuencia del truco de los determinantes, o Lemma de Nakayama:

$(2)$ Si $\mathfrak a$ y $\mathfrak b$ son ideales de $A$ , entonces la igualdad $\mathfrak a\mathfrak b=\mathfrak b$ sólo es válida si $\mathfrak a=(1)$ o $\mathfrak b=(0)$ .

Probemos $m_i=n_i$ por inducción en $i$ :

Caso $i=1$ : Tenemos $(\mathfrak p_{11})^{m_1}=(\mathfrak p_{11})^{n_1}$ por $(1)$ . Si tuviéramos $m_1\ne n_1$ podríamos suponer $m_1<n_1$ y obtendría $$ (\mathfrak p_{11})^{n_1-m_1}(\mathfrak p_{11})^{m_1}=(\mathfrak p_{11})^{m_1}, $$ contradictorio $(2)$ .

Desde $i-1$ a $i$ : Tenemos $$ (\mathfrak p_{1i})^{m_1}\cdots(\mathfrak p_{i-1,i})^{m_{i-1}}(\mathfrak p_{ii})^{m_i}=(\mathfrak p_{1i})^{m_1}\cdots(\mathfrak p_{i-1,i})^{m_{i-1}}(\mathfrak p_{ii})^{n_i}.\quad(3) $$ Si tuviéramos $m_i\ne n_i$ podríamos suponer $m_i<n_i$ y podríamos escribir $(3)$ como $$ (\mathfrak p_{ii})^{n_i-m_i}\mathfrak b=\mathfrak b $$ con $(\mathfrak p_{1i})^{n_i-m_i}\ne(1)$ y $\mathfrak b\ne(0)$ , contradiciendo $(2)$ . (Aquí $\mathfrak b$ es el lado izquierdo de $(3)$ y suponemos que $2\le i\le k$ .) $\square$

Tenga en cuenta que el argumento sigue funcionando si $A$ no es noeteriano, pero el $\mathfrak p_i$ son generados finitamente.