Demuestre que el límite de soluciones de EDO tiende a$0$

Question

Estoy revisando algunos de los ejercicios de un curso de educación a distancia de la que no he conseguido hacer. Este ejercicio le pide al lector mostrar que cualquier solución a una educación a distancia de la siguiente forma va a $0$ como $t\rightarrow\infty$: $$y'+a(t)y=f(t)$$ con $a(t)$ e $f(t)$ continua, $a(t) \geq c>0$ e $\lim\limits_{t\rightarrow\infty}f(t)=0$.

Podemos encontrar un factor integrante para esta ODA, es decir, $\mu(t)=e^{\int a(t)}$, por lo que nos encontramos con que cualquier solución parece $$y = e^{-\int a(t)}\int f(t)e^{\int a(t)}$$ and from the property that $a(t) \geq c>0$ we can conclude that $$|y| \leq e^{-ct}\int f(t)e^{\int a(t)}$$ sin embargo no sé cómo continuar a partir de aquí. Cualquier ayuda se agradece.

Answer 1

Deje $A(t) = \int_0^t a(s)\, ds$. Por el método de la integración de factores, $$y(t) = e^{-A(t)}y(0) + e^{-A(t)}\int_0^t e^{A(s)}f(s)\, ds$$ For $t \ge 0$, the exponential $e^{-A(t)}$ is bounded by $e^{-ct}$, so the term $e^{-A}y(0)\a 0$ as $t \to \infty$. Now $$e^{-A(t)}\int_0^t e^{A(s)}f(s)\, ds = \int_0^t f(s)e^{-\int_s^t a(u)\, du}\, ds$$ is bounded by $\int_0^t \lvert f(s)\rvert e^{-c(t-s)}\, ds$, which we'll show tends to $0$ as well. Fix a positive number $\varepsilon$. Using the condition $\lim\limits_{t\to \infty} f(t) = 0$, we may choose a positive number $M$ such that for all $t \ge M$, $\lvert f(s)\rvert < \varepsilon$. For $t > M$, $$\int_0^t \lvert f(s)\rvert e^{-c(t-s)}\, ds = \int_0^M \lvert f(s)\rvert e^{-c(t-s)}\, ds + \int_M^t \lvert f(s)\rvert e^{-c(t-s)}\, ds \le Ce^{-ct} + \frac{\varepsilon}{c}\left[1-e^{-c(t-M)}\right]$$ where $C$ is the constant $\int_0^M \lvert f(s)\rvert e^{cs}\, ds$. Taking the limit superior as $t \to \infty$ results in $$\limsup_{t\to \infty} \int_0^t \lvert f(s)\rvert e^{-c(t-s)}\, ds \le \frac{\varepsilon}{c}$$ As $\varepsilon$ was arbitrary, $\int_0^t \lvert f(s)\rvert e^{-c(t-s)}\, ds$ tends to $0$ as $t\to \infty$, como se desee.

Answer 2

Deje $0 < \varepsilon \le 2$, vamos a $T > 0$ ser tal que $|f(t)| \le \varepsilon$ para $t \ge T$, y el conjunto de $z(t) = |y(t)|^2$. A continuación, para $t \ge T$ $$ \frac{d}{dt} z(t) = - 2a(t) z(t) + |f(t)y(t)| \le-2cz(t) + \varepsilon \sqrt{z(t)} \le - 2 c z(t) +\varepsilon (\frac{1}{2c} + \frac{c}{2} z(t)) $$ y por lo tanto $$ \frac{d}{dt} z(t) \le - cz(t) + \frac{\varepsilon}{2c} \, $$ Ahora establezca $w(t) = e^{ct}z(t)$, a continuación, $\frac{d}{dt} w(t) \le \frac{\varepsilon e^{ct}}{2c}$. La integración de esta desigualdad de $T$ a $t > T$, se deduce que $$ w(t) \le w(T) + \frac{\varepsilon}{2c^2} e^{c(t-T)}-1) $$ y por lo tanto $$ z(t) \le e^{-ct}\cdot const. + \frac{\varepsilon}{2c^2} \, $$ En consecuencia, $\limsup_{t \to \infty} z(t) \le \frac{\varepsilon}{2c^2}$.

Desde $\varepsilon$ fue arbitraria, se deduce que el $y(t) \to 0$.

Este argumento también se trabaja para que el vector de valores de las ecuaciones diferenciales, aún no lineal. Un factor integrante para la ecuación no es necesario.