Los grupos libres son residualmente de rango 2

Question

Dejemos que $F_X$ denota el grupo libre sobre el conjunto $X$ y $F_n$ el grupo libre de rango $n$ .

He leído que cualquier grupo libre está residenciado $F_2$ y yo estaba tratando de entender esto.

Para cualquier grupo libre $F$ Es decir, es libre de rango finito : dado $g \in F$ con $g \neq 1$ , dejemos que $S$ sea un conjunto de generadores de $F$ que podemos utilizar para expresar $g$ entonces $g$ no se envía a la identidad bajo la proyección $F \to F_S$ .

Así que la pregunta se reduce a por qué $F_n$ es residualmente $F_2$ , para $n \geq 2$ .

Editar: Me di cuenta de que esto es trivial a partir de la incrustación de $F_n$ en $F_2$ para cualquier $n \geq 1$ . Así que la pregunta interesante es si el morfismo $F_n \to F_2$ se puede elegir que sea suryente. Más explícitamente: dejemos que $n \geq 2$ y $1 \neq g \in F_n$ . ¿Existe un epimorfismo $\phi : F_n \to F_2$ tal que $\phi(g) \neq 1$ ?

Answer 1

Sí, es cierto: para todo subconjunto finito $S$ de un grupo libre $F$ existe un cociente $F'$ de $F$ , de tal manera que $F'$ es libre de rango 2, y tal que $S$ se mapea de forma inyectiva en $F$ .

Véase, por ejemplo, (d) p11 en Champetier, Guirardel, Limit groups as limits of free groups: compactifying the set of free groups. ( enlace arxiv )

Answer 2

El argumento que tenía en mente utiliza la "propiedad de aproximación superfuerte".

Todo grupo libre finitamente generado $F$ se incrusta en $SL(2, {\mathbb Z})$ que es un grupo generado por 2 personas. Necesitaré dos datos sobre $SL(2, {\mathbb Z})$ Uno de ellos es elemental y el otro es difícil:

a. Para todo subconjunto finito $A\subset SL(2, {\mathbb Z})$ para todos los primos, excepto los finitos $p$ la proyección de $A$ a $SL(2, {\mathbb Z}/p {\mathbb Z})$ es 1-1.

b. Si $B\subset SL(2, {\mathbb Z})$ consiste en matrices que generan un subgrupo libre $G$ de rango 2, entonces para todos los primos, excepto los finitos $p$ la proyección de $B$ a $SL(2, {\mathbb Z}/p {\mathbb Z})$ genera $SL(2, {\mathbb Z}/p {\mathbb Z})$ . Este es un hecho no trivial, véase

R. Matthews, L. N. Vaserstein, B. Weisfeiler, "Congruence Properties of Zariski-Dense Subgroups, I", Proc. London Math. Soc., Series 3, 48 (3) 1984, p. 514-532.

(Ellos demostraron un resultado mucho más general, yo sólo estoy utilizando un caso especial necesario aquí).

Tomaré $G$ para ser un factor libre de rango 2 del subgrupo libre $F< SL(2, {\mathbb Z})$ y que $A\subset F$ sea un subconjunto finito arbitrario. Tomando un primo adecuado $p$ Lo entendemos:

i) La restricción de la proyección $$ \phi: SL(2, {\mathbb Z})\to SL(2, {\mathbb Z}/p {\mathbb Z}) $$ a $A$ es 1 a 1.

ii) $\phi(G)= SL(2, {\mathbb Z}/p {\mathbb Z})$ .

Desde $SL(2, {\mathbb Z}/p {\mathbb Z})$ es un grupo de 2 generaciones, existe un epimorfismo $$ \eta: F_2\to SL(2, {\mathbb Z}/p {\mathbb Z}). $$ Dado que el grupo $F$ es gratis y $G$ es su factor libre, existe una elevación del homomorfismo $\phi$ a un homomorfismo $$ \psi: F\to F_2, \phi=\eta\circ \psi, $$ tal que $\psi(G)=F_2$ Por lo tanto, $\psi$ es un epimorfismo. Al mismo tiempo, la restricción de $\psi$ a $A$ es 1 a 1 ya que $\phi$ ya tiene esta propiedad. Por lo tanto, demostramos:

Teorema. Por cada grupo libre $F$ de rango finito y para todo subconjunto finito $A\subset F$ existe un epimorfismo $$ \psi: F\to F_2 $$ cuya restricción a $A$ es 1 a 1.